Matemáticas II I.E.S. Almudeyne: febrero 2009

lunes, 23 de febrero de 2009

Diario de clases: Martes 24 de Febrero de 2009

Hoy hemos seguido trabajando el método de Gauss para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

Definición: Se llaman transformaciones válidas en un sistema de ecuaciones lineales aquellas que mantienen las soluciones del sistema. Son las siguientes:

Multiplicar o dividir los dos miembros de una de las ecuaciones por un número distinto de 0.
Añadir una ecuación que sea combinación lineal de las demás, o al contrario, suprimir una ecuación que sea combinación lineal de las demás.
Sustituir una ecuación por el resultado de sumarle otra multiplicada por un número.

En la resolución de sistemas debemos realizar transformaciones que además de válidas resulten convenientes a la hora de poder calcular la solución del sistema.

Sistemas incompatibles y sistemas compatibles indeterminados

Ejemplos de sistemas incompatibles y compatibles determinados.

Diario de clases: Lunes 23 de Febrero de 2009

En el día de hoy trabajado la interpretación geométrica de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:

Caso 1º : El sistema es compatible determinado. Los tres planos se cortan a la vez en un único punto. Las coordenadas de dicho punto serían las soluciones del sistema:

Caso 2º : El sistema es incompatible. Los tres planos no tienen ningún punto en común a la vez:

Caso 3º: El sistema es compatible indeterminado. Los tres planos tienen infinitos puntos en común. Puede haber dos casos:

Tienen una recta de puntos en común. (1 parámetro) :

Tienen un plano de puntos en común (2 parámetros)

Para finalizar hemos recordado el método de Gauss para la resolución de sistemas lineales. Lo seguiremos trabajando mañana dado que una parte del grupo no ha podido asistir hoy a clase.

Diario de clases: Jueves 19 de Febrero de 2009

Hoy hemos comenzado con el Bloque III.- Álgebra Lineal.

Hemos definido algunos conceptos importantes:

Definición: Una ecuación lineal es una ecuación polinómica de grado uno con una o varias incógnitas. Diremos que dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen la misma solucione ( o soluciones). Si a los dos miembros de una ecuación los multiplicamos o dividimos por un mismo número distinto de cero, la ecuación resultante es equivalente a la primera.

Definición: Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales dadas conjuntamente con el fin de determinar la o las soluciones comunes a todos ellos. Un sistema con m ecuaciones lineales n incógnitas puede ser escrito en forma ordinaria como:

$\begin{matrix} a_{11}x_1 +& a_{12}x_2 +& \dots +& a_{1n}x_n =& b_1 \\ a_{21}x_1 +& a_{22}x_2 +& \dots +& a_{2n}x_n =& b_2 \\ \dots & \dots & \dots & \dots\\ a_{m1}x_1 +& a_{m2}x_2 +& \dots +& a_{mn}x_n =& b_m \end{matrix}$

Donde $x_1,\dots,x_n\,$ son las incógnitas y los números $a_{ij}\in\mathbb{K}$ son los coeficientes del sistema sobre el cuerpo $\mathbb{K}\ [= \R, \mathbb{C}, \dots]$ . En el presente curso los coeficientes serán todos números reales.

En los sistemas con 2 incógnitas, el universo de nuestro sistema será el plano bidimensional, mientras que cada una de las ecuaciones será representada por una recta, si es lineal. La solución será el punto (o línea) donde intersecten todas las rectas que representan a las ecuaciones. Si no existe ningún punto en el que intersecten al mismo tiempo todas las líneas, el sistema es incompatible, o lo que es lo mismo, no tiene solución.

En el caso de un sistema con 3 incógnitas, el universo será el espacio tridimensional, siendo cada ecuación un plano dentro del mismo. La intersección de dos planos no paralelos es una recta. Si todos los planos intersectan en un único punto, las coordenadas de éste serán la solución al sistema. Si, por el contrario, la intersección de todos ellos es una recta o incluso un plano, el sistema tendrá infinitas soluciones, que serán las coordenadas de los puntos que forman dicha línea o superficie.

Para sistemas de 4 ó más incógnitas, la representación gráfica no es intuitiva para el ser humano, por lo que dichos problemas no suelen enfocarse desde esta óptica.

Tipos de sistemas

Los sistemas de ecuaciones lineales se pueden clasificar según el número de soluciones que pueden presentar. De acuerdo con ese caso se pueden presentar los siguientes casos:

Sistema incompatible si no tiene ninguna solución.
Sistema compatible si tiene alguna solución, en este caso además puede distinguirse entre:
- Sistema compatible determinado cuando tiene un número finito de soluciones.
- Sistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito de soluciones.

Quedando así la clasificación:

$\mbox{Tipos de sistemas} \begin{cases} \mbox{Compatible} & \begin{cases} \mbox{Determinado}\\ \mbox{Indeterminado} \end{cases}\\ \mbox{Incompatible} \end{cases}$

Posiciones relativas de dos rectas en el plano

Solución gráfica de sistemas de ecuaciones lineales con 2 incógnitas.

Representación de 2 rectas secantes en un plano. Gráfica de rectas paralelas en un plano. Rectas coincidentes en el plano.

domingo, 22 de febrero de 2009

Resumen de Tema: Representación gráfica de funciones

Esquema a seguir en la representación de funciones

Esquema general para representar una función.

Función polinómica

Imagen de una función polinómica

Representación de una función racional.

Imagen de una función racional.

Estudio de una función irracional

Gráfica de una función irracional

Estudio y representación de una función con logaritmos

Gráfica de una función logarítmica

Estudio de una función exponencial

Imagen de una función exponencial.

Resumen del Tema: Métodos de Integración

Métodos de integración

Dada una integral, se debe reconocer primero si es un tipo de integral inmediata o si se puede reducir a alguno de ellos haciendo transformaciones elementales ; en caso contrario, habrá que aplicar los métodos de integración.

Integrales obtenidas por transformaciones elementales

Integrales casi inmediatas.

Esquema general de métodos de integración

Integración de funciones racionales.
1. Método directo.
2. Descomposición en fracciones simples.
  1. Grado del numerador menor que el grado del denominador.
    1. Raíces del denominador reales, simples y distintas.
    2. Raíces del denominador reales, múltiples y distintas.
    3. Raíces del denominador imaginarias.
    4. Caso especial.
  2. Grado del numerador mayor o igual que el grado del denominador.
Integración por partes.
Integración por sustitución o cambio de variable.
Integración de potencias de funciones trigonométricas.