Tema 10.- Aplicaciones de la Derivada

La obtención de la tangente a una curva en uno de sus puntos y el cálculo de la velocidad instantanea de un movil son problemas históricos que dieron lugar, en su momento, a la noción de derivada. Sin embargo fueron los problemas de optimización los que aportaron mayor impulso a la busqueda de una teoría que diera generalidad a todos los problemas particulares que se habían planteado.

La ciencia, la técnica, las propias matemáticas e, incluso, la vida cotidiana están plagadas de problemas de optimización. Muchas cuestiones importantes se plantean de este modo: "qué es lo óptimo en estas circunstancias". Muchos de los problemas de máximos y mínimos ya fueron abordados por los griegos, como, por ejemplo, el camino que recorre la luz para llegar de un punto a otro mediante reflexión (Herón, siglo I a. C.) Antes de la invención del cálculo diferencial, cada uno de estos problemas se abordaba mediante un procedimiento específico, no generalizable a los demas. Actualmente, muchos de estos problemas son simples aplicaciones de las derivadas.

En esta Unidad verás:

Las aplicaciones de las derivadas son numerosas. En esta unidad se revisan y se sistematizan algunas ya conocidas y se estudian otras nuevas:

1. Recta tangente a una curva en uno de sus puntos: conocida la abcisa del punto, sabremos hallar el valor de la derivada en ese punto y por tanto la pendiente de la recta tangente en él.
2. Obtención de los máximos y mínimos relativos de las funciones derivables.
3. Resolución de problemas de optimización. Conseguir el coste mínimo o la ganancia máxima en un negocio, el volumen máximo de una figura sometida a restricciones, ... son problemas de optimización.
4. El estudio de la curvatura de una función (concava o convexa) lo realizaremos usando la segunda derivada
5. La regla de L'Hopital nos permitirá ampliar nuestros recursos para el cálculo de límites.
6. Los Teoremas del Valor Medio y de Rolle nos van a permitir demostrar muchas propiedades interesantes.
   

Recursos:

Desarrollo del Tema

Ideas básicas

Mapa conceptual

Solucionario de las actividades del tema

Cuadernillo y solucionario

Presentación Power Point

Biografia de Matemáticos

Web recomendada 1

Web recomendada 2

Web recomendada 3: clasesdeapoyo.com

Apuntes de continuidad

Apuntes de funciones elementales

Apuntes de interpretación analítica de la derivada

Apuntes de interpretación geométrica de la derivada

Apuntes de Teoremas de derivabilidad

Problemas resueltos de rectas tangentes y normales

Problemas resueltos de la Regla de L'Hopital

Problemas resueltos de optimización