Introducción histórica a la Geometría Analítica

Introducción histórica tomada del libro Matemáticas II Bachillerato de J. Colera, R. García y M.J. Oliveira de la editorial Anaya.

“El universo es un libro escrito en el lenguaje de las matemáticas, siendo sus caracteres triángulos, círculos y otras figuras geométricas sin las cuales es humanamente imposible comprender una sola palabra: sin ellos sólo se conseguiría vagar por un oscuro laberinto”

Galileo Galilei

Una de las matemáticos más influyentes a lo largo de la historia de la Geometría fue y sigue siendo Euclides de Alejandría. Euclides vivió, probablemente, entre 330 y 275 a.C. Aunque su obra es extensa y abarcó diferentes temas (Matemáticas, Óptica, Música, etc.) se le recuerda principalmente por su obra Los Elementos. Está compuesta por 13 pequeños libros y contiene un total de 465 proposiciones sobre geometría del plano, geometría del espacio y teoría de números.

La materia que abordan Los Elementos es conocida en su mayor parte, con anterioridad. La principal contribución de Euclides consistió en la organización y disposición lógica de todo el material, construyendo un sistema deductivo fuertemente cohexionado.

Euclides comienza cada libro con las definiciones de los conceptos que desarrollará. Además, en el primer libro expone cinco postulados y una serie de nociones comunes también llamadas axiomas. Mediante estos axiomas y definiciones, demuestra los Teoremas, vertebrando de esta manera la teoría.

A la construcción del edificio que propuso Euclides y a su manera de razonar en Los Elementos se la denomina Geometría clásica o euclídea.

Entre los postulados que propuso Euclides hubo uno que llamó poderosamente la atención: el quinto postulado. Decía así:

“V Postulado: Por un punto exterior a una recta se puede trazar una y solo una paralela, es decir, una y solo una recta que no se corte con la primera”

Matemáticos de todas las épocas hicieron intentos serios y profundos en dos direcciones: la manera de reemplazar el axioma por un argumento más evidente, la segunda fue de tratar de deducirlo de los otros axiomas. Ninguno de ellos tuvo éxito, pero sus trabajos llevaron a la aparición de las geometrías no euclídeas.

Se considera a Lobachevxky (1793-1856), a Bolyai (1802-1860) y a Gauss como los autores de la creación de la geometría no euclídea.

Sus conclusiones fueron similares, pero el primero en publicarlas fue Lobachesky en 1820. Gauss no las difundió por el temor al escándalo que podía producir y Bolyai publicó resultados parecidos en 1832. Sus resultados fueron básicamente dos:

-El V postulado no se deduce de los anteriores.

- Si suponemos un axioma contrario al V postulado, es posible desarrollar una geometría completamente lógica.

GEOMETRÍA RIEMANNIANA

Las ideas de Riemann (1826-1866) aparecieron después del paso decisivo de Lobachevxky. Básicamente eran tres:

a) Posibilidad de una geometría distinta de la euclídea, es decir, que no cumpliera el V postulado.

b) Concepto de geometría intrínseca de una superficie, por ejemplo la geometría esférica.

c) Concepto de espacio con un número arbitrario de dimensiones.

Esta geometría encontró aplicaciones en Mecánica y en Física, siendo la más brillante la que se produjo en la teoría de la relatividad.

GEOMETRÍA ESFÉRICA

Si consideramos la superficie de una esfera como espacio en sí misma, esta tiene su propia geometría. Las circunferencia máximas de las esferas son las líneas que nos dan las distancias más cortas (también llamadas líneas geodésicas); por tanto, estas circunferencias en la esfera son las equivalentes a las rectas en el plano.

Así, nos encontramos que, en esta superficie, no existen paralelas (esta geometría no cumple el quinto postulado). Si consideramos nuestro planeta como esférico, esta geometría tiene una utilidad innegable en los campos de la navegación, telecomunicaciones, etc.

GEOMETRÍA ANALÍTICA

En la primera mitad del siglo XVII aparece una nueva forma de abordar problemas geométricos, propuesta por René Descartes (1596-1650) Este procedimiento, el método de las coordenadas, consiste un utilizar recursos algebraicos para resolver problemas geométricos, definiendo las curvas y superficies mediante ecuaciones algebraicas. esta idea supuso un gran impulso al desarrollo de la geometría.

La geometría analítica del espacio fue desarrollada por euler, Lagrange y fundamentalmente por Monge. El tratamiento vectorial de esta le dio un nuevo impuso: Bellavitis (álgebra de vectores) y Graussman (espacios n-dimensionales) son personajes clave en el enfoque de la geometría.

GEOMETRÍA FRACTAL

A finales del siglo XIX y principios del XX, algunos matemáticos, como Sierpinski, Cantor, Koch o Peano, se encontraron con una serie de conjuntos y figuras geométricas diferentes (curvas que no tenían tangente en ninguno de sus puntos, curvas que rellenaban un plano, …) Se les dio el nombre de “monstruos matemáticos” y fueron considerados durante muchos años como curiosidades.

Fue Mandelbrot quien, en 1967, estudiando estos monstruos geométricos, los denominó fractales y descubrió que podían resultar muy útiles en el análisis de una enorme variedad de fenómenos físicos (las nubes, las montañas, las lineas costeras, las grietas tectónicas, los capilares sanguíneos, …) Visita esta web