El origen del cálculo integral se remonta a la época de Arquímedes (287-212 a.C.), matemático griego de la antigüedad, que obtuvo resultados tan importantes como el valor del área encerrada por un segmento parabólico. La derivada apareció veinte siglos después para resolver problemas que en principio no tenían nada en común con el cálculo integral. El descubrimiento más importante del cálculo infinitesimal (creado por Barrow, Newton y Leibnitz) es la íntima relación entre la derivada y la integral definida, a pesar de haber seguido caminos diferentes durante veinte siglos. Una vez conocida la conexión (Teorema fundamental del cálculo), el cálculo de integrales definidas se hace tan “sencillo” como el de derivadas.
Los creadores del Análisis Infinitesimal introdujeron el Cálculo Integral, considerando los problemas inversos de sus cálculos. En la teoría de fluxiones de Newton la mutua inversibilidad de los problemas del cálculo de fluxiones y fluentes se evidenciaba claramente. Para Leibniz el problema era más complejo: la integral surgía inicialmente como definida. No obstante, la integración se reducía prácticamente a la búsqueda de funciones primitivas. La idea de la integración indefinida fue inicialmente la dominante.
El Cálculo Integral incluía además de la integración de funciones, los problemas y la teoría de las ecuaciones diferenciales, el cálculo variacional, la teoría de funciones especiales, etc. Tal formulación general creció inusualmente rápido. Euler necesitó en los años 1768 y 1770 tres grandes volúmenes para dar una exposición sistemática de él.
Según Euler el Cálculo Integral constituía un método de búsqueda, dada la relación entre los diferenciales o la relación entre las propias cantidades. La operación con lo que esto se obtenía se denominaba integración. El concepto primario de tal Cálculo, por supuesto, era la integral indefinida. El propio Cálculo tenía el objetivo de elaborar métodos de búsqueda de las funciones primitivas para funciones de una clase lo más amplia posible.
Los logros principales en la construcción del Cálculo Integral inicialmente pertenecieron a J. Bernoulli y después a Euler, cuyo aporte fue inusitadamente grande. La integración llevada por este último hasta sus últimas consecuencias y las cuadraturas por él encontradas, todavía constituyen el marco de todos los cursos y tratados modernos sobre Cálculo Integral, cuyos textos actuales son sólo modificaciones de los tratados de Euler en lo relativo al lenguaje. Estos juicios se confirman con la revisión concreta del famoso Cálculo Integral de Euler y su comparación con los textos actuales.
Euler, partiendo del concepto de integral indefinida como básico, introdujo un sistema completo de definiciones. La integral, junto con una constante aditiva arbitraria, la denominó total. La fijación de una constante arbitraria conducía a una integral parcial. El valor de esta última, para cierto valor determinado del argumento, daba el equivalente a la integral definida.
En el curso del desarrollo del Cálculo Integral surgió una serie de problemas de carácter especial. Los esfuerzos en su resolución condujeron a la elaboración de nuevas ramas del Análisis Matemático, estas últimas, tarde o temprano se separaron de su fuente inicial, el Cálculo Integral del siglo XVIII.
El cálculo de integrales de tipos especiales ya a comienzos de siglo conllevó al descubrimiento de una serie de resultados de la teoría de las funciones especiales como por ejemplo la función Beta y la función Gamma
Esta rama del Cálculo Integral jugó un papel importante en la creación de la teoría de funciones de variable compleja como una de sus fuentes. Así en el transcurso del siglo XVIII se formó en el Cálculo Integral un conjunto de métodos, próximo a su actual contenido y nivel. Este Cálculo, además, dio comienzo a nuevas ramas del Análisis Matemático, como por ejemplo la teoría de las funciones especiales. De él se separaron y transformaron en campos matemáticos independientes: la teoría de ecuaciones diferenciales y el cálculo variacional. El Cálculo integral sirvió, finalmente, como una de las fuentes de la teoría de las funciones analíticas
El cálculo diferencial e integral constituye una de las grandes conquistas intelectuales de la humanidad. Una vez que se construyó, la historia de las matemáticas ya no sería igual: la geometría, el álgebra y la aritmética, la trigonometría, se colocarían en una nueva perspectiva teórica. Los nuevos conceptos y métodos tendrían también un impacto extraordinario en la descripción y manipulación de la realidad física.
Lo primero que debe quedar claro es que el cálculo no significa un poco más de álgebra (unas nuevas fórmulas), o una consecuencia especial de la geometría euclidiana o de la trigonometría usual; el Cálculo cristaliza conceptos y métodos cualitativamente diferentes, que la humanidad estuvo tratando de dominar por más de 20 siglos. Una larga lista de personas lidiaron con los métodos "infinitesimales", como Zenón de Elea, Eudoxo de Cnido, Arquímedes de Siracusa desde la Grecia Antigua. Pero se tuvo que esperar, sin embargo, hasta el siglo XVII para tener la madurez social, científica y matemática que permitiría construir el Cálculo que hoy aprendemos.
La enseñanza del Cálculo plantea desde un principio tanto la derivación como de la integración: dos asuntos diferentes que convergen. Desde el siglo XVII, se descubrió la convergencia de los dos tipos fundamentales de problemas a los que el Cálculo se dirigía:
• áreas bajo curvas, volúmenes (integral) y
• el Cálculo de máximos y mínimos, tangentes a curvas en ciertos puntos precisos (derivada).
Ambos procesos, la integración y la derivación, convergen, lo que es la esencia precisamente de lo que se conoce como el Teorema Fundamental del Cálculo. Esto obliga, en cualquier curso de Cálculo (aunque sea introductorio) una referencia a ese nudo teórico.
El proceso de cálculo de primitivas (o de integración) requiere que practiques mucho. Para adquirir destreza, deberás dominar el cálculo de derivadas, hasta el punto de ser capaz de reconocer una función derivada de otra. A lo largo de la unidad se irá estudiando una serie de técnicas que permitirán resolver muy diversos tipos de integrales. Debes saber que aunque el calculo de derivadas es algo mecánico, no es el caso de su proceso inverso, la integración.
Recursos:
Enlaces interesantes:
Enlace 1 (Página web con el desarrollo teórico y práctico del tema)
Enlace 2 (Unidad didáctica del Proyecto Descartes del M.E.C.)
Enlace 3 (Página con ejercicios interactivos)
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