Diario de clases: Lunes 25 de Mayo de 2009

Hoy hemos realizado el examen del bloque de Geometría analítica. Aquí os dejo la versión imprimible del examen.

Diario de clases: Martes 5 de Mayo de 2009

Posiciones relativas de dos rectas.

Algebraicamente: Sean las rectas:

Al tratar de encontrar los posibles puntos de intersección de ambas hay que resolver el sistema de 4 ecuaciones con tres incógnitas:

Y según el Teorema de Rouché, teniendo en cuenta que y que , siendo A y B las matrices de los coeficientes y ampliada respectivamente, pueden ocurrir los siguientes casos:

• . Rango A=Rango B=2->Sistema compatible e indeterminado con un grado de libertad. Las rectas son coincidentes.

• . Rango A=2 Rango B=3->Sistema incompatible. Las rectas son paralelas.

Rango A=Rango B=3->Sistema compatible y determinado. Las rectas se cortan en un único punto.

• .RangoA=3 Rango B=4 Sistema incompatible. Las rectas se cruzan en el espacio.

Posiciones relativas de una recta y un plano.

algebraicamente: Sean la recta y el plano:

Al tratar de resolver el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:

Pueden darse los siguientes casos:

• Rango(A)=Rango(B)=2 -> Sistema compatible e indeterminado con un grado de libertad. La recta está contenida en el plano.

• Rango(A)="2 y Rango(B)=3 ->Sistema incompatible. La recta y el plano son paralelos.

• Rango(A)=Rango(B)=3 –> Sistema compatible y determinado. La recta y el plano se cortan en un único punto.

Posiciones relativas de dos planos.

Sean los planos:

Al tratar de resolver el sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas:

Pueden darse los siguientes casos:

• Rango A = Rango B = 1 –> Sistema compatible e indeterminado con dos grados de libertad. Los planos son coincidentes.




• Rango A =1 Rango B = 2–>Sistema incompatible. Los planos son paralelos.

• Rango A =Rango B = 2–>Sistema compatible e indeterminado. Los planos se cortan en una recta.
  

Posiciones relativas de tres planos.

Del estudio del sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que forman las ecuaciones implícitas de los tres planos, podemos obtener los siguientes casos:

• 

. Sistema compatible e indeterminado con 2 grados de libertad. Los 3 planos coinciden:

• 

. Sistema incompatible. Los planos son, o dos coincidentes y el otro paralelo, o los tres paralelos:

• 

. Sistema compatible e indeterminado con un grado de libertad. Los planos se cortan en una recta los tres o bien, dos son coincidentes y el otro se corta con ellos en una recta:

• 

. Sistema incompatible. Los planos pueden ser dos paralelos y otro secante a ambos o los tres formando una superficie prismática:

• 

. Sistema compatible y determinado. Los tres planos se cortan en un único punto:

Diario de clases: Lunes 4 de Mayo de 2009

Ecuaciones del plano                                  

Determinación de un plano en el espacio

Ejemplos

Diario de clases: Miércoles 29 de Abril de 2009

Una vez estudiadas las herramientas vectoriales que usaremos, comenzamos definiendo el espacio tridimensional. Aquí os dejo una definición más rigurosa que la que hemos realizado en clase:

Espacio afín tridimensional :

Definición:

Sea el conjunto de puntos del espacio y los denotaremos con letras mayúsculas y sea  un espacio vectorial . Diremos que es un espacio afín tridimensional asociado al espacio vectorialsi existe una aplicación (o ley de composición externa) , f ,

tal que a todo par de puntos les asocia un vector, , de (el vector va de A a B):

y que satisface los axiomas siguientes:

Axioma 1: Biyectiva: existe un único punto tal que . Es decir,

fijado el punto A, la aplicación es biyectiva.

Axioma 2: Igualdad: . Es decir, el vector que une dos puntos es cero si y

sólo si los puntos son el mismo.

Axioma 3: Ley del paralelogramo: .

Sistema de referencia afín:

Está formado por los vectores vectores de la base y por un punto O que une a estos vectores de la base

Coordenadas de un vector definido por dos puntos:

 

 

En el espacio vamos a trabajar con dos figuras: rectas y planos.  A la condición o condiciones que verifican todos los puntos que forman parte de esa figura se le llama ecuación de la figura. Dicha ecuación puede ser transformada mediante técnicas algebraicas y dar lugar a diferentes formas.

En ocasiones no es necesario utilizar ninguna técnica especial para hallar la ecuación de una figura. Por ejemplo, los puntos del eje “y” son (0,1,0), (0,2,0), (0,0,0),…, es decir, son de la forma (0,k,0) con k cualquier número real. Todos cumplen pues la condición que la  primera y la tercera coordenada son  0 . Es decir, todos los puntos (x,y,z) que cumplan pues las ecuaciones “x=0” y “z=0” son puntos del eje “y”. A esas dos condiciones se le llama ecuación del eje y.

No siempre será tan sencillo calcular las ecuaciones de una figura, de ahí que comencemos con el calculo de la ecuación de una recta.

Ecuaciones de la recta en el espacio                   

Formas: vectorial, paramétricas, continua y general.

Ejemplos de como pasar de unas formas a otras