Diario de clases: Martes 5 de Mayo de 2009

Posiciones relativas de dos rectas.

Algebraicamente: Sean las rectas:

Al tratar de encontrar los posibles puntos de intersección de ambas hay que resolver el sistema de 4 ecuaciones con tres incógnitas:

Y según el Teorema de Rouché, teniendo en cuenta que y que , siendo A y B las matrices de los coeficientes y ampliada respectivamente, pueden ocurrir los siguientes casos:

• . Rango A=Rango B=2->Sistema compatible e indeterminado con un grado de libertad. Las rectas son coincidentes.

• . Rango A=2 Rango B=3->Sistema incompatible. Las rectas son paralelas.

Rango A=Rango B=3->Sistema compatible y determinado. Las rectas se cortan en un único punto.

• .RangoA=3 Rango B=4 Sistema incompatible. Las rectas se cruzan en el espacio.

Posiciones relativas de una recta y un plano.

algebraicamente: Sean la recta y el plano:

Al tratar de resolver el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:

Pueden darse los siguientes casos:

• Rango(A)=Rango(B)=2 -> Sistema compatible e indeterminado con un grado de libertad. La recta está contenida en el plano.

• Rango(A)="2 y Rango(B)=3 ->Sistema incompatible. La recta y el plano son paralelos.

• Rango(A)=Rango(B)=3 –> Sistema compatible y determinado. La recta y el plano se cortan en un único punto.

Posiciones relativas de dos planos.

Sean los planos:

Al tratar de resolver el sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas:

Pueden darse los siguientes casos:

• Rango A = Rango B = 1 –> Sistema compatible e indeterminado con dos grados de libertad. Los planos son coincidentes.




• Rango A =1 Rango B = 2–>Sistema incompatible. Los planos son paralelos.

• Rango A =Rango B = 2–>Sistema compatible e indeterminado. Los planos se cortan en una recta.
  

Posiciones relativas de tres planos.

Del estudio del sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que forman las ecuaciones implícitas de los tres planos, podemos obtener los siguientes casos:

• 

. Sistema compatible e indeterminado con 2 grados de libertad. Los 3 planos coinciden:

• 

. Sistema incompatible. Los planos son, o dos coincidentes y el otro paralelo, o los tres paralelos:

• 

. Sistema compatible e indeterminado con un grado de libertad. Los planos se cortan en una recta los tres o bien, dos son coincidentes y el otro se corta con ellos en una recta:

• 

. Sistema incompatible. Los planos pueden ser dos paralelos y otro secante a ambos o los tres formando una superficie prismática:

• 

. Sistema compatible y determinado. Los tres planos se cortan en un único punto: