Contenidos
Conceptos
Tema 1. Sistemas de ecuaciones lineales.
1.1. Introducción histórica.
1.2. Sistemas de ecuaciones lineales.
1.2.1. Definiciones.
1.2.2. Sistemas equivalentes.
1.3. Resolución de sistemas.
1.3.1. Método de Gauss.
1.3.2. Método de Gauss-Jordan.
1.3.3. Discusión de sistemas.
1.3.3.1. Sistemas sin parámetros.
1.3.3.2. Sistemas con un parámetro.
Tema 2. Álgebra de matrices.
2.1. Introducción histórica.
2.2. Matrices.
2.2.1. Definiciones.
2.2.2. Tipos de matrices.
2.2.3. Notación matricial.
2.3. Notación matricial de un sistema de ecuaciones lineales.
2.4. Operaciones con matrices.
2.4.1. Suma de matrices.
2.4.1.1. Definición.
2.4.1.2. Propiedades.
2.4.2. Multiplicación de un escalar por una matriz.
2.4.2.1. Definición.
2.4.2.2. Propiedades.
2.4.3. Multiplicación de matrices.
2.4.3.1. Definición.
2.4.3.2. Propiedades.
2.4.4. Trasposición.
2.4.4.1. Definición.
2.4.4.2. Propiedades.
2.4.4.3. Matrices simétricas y hemisimétricas.
2.5. Matriz inversa
2.5.1. Definición.
2.5.2. Cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss-Jordan.
2.5.3. Solución matricial de un sistema de ecuaciones.
Tema 3. Determinantes.
3.1. Introducción histórica.
3.2. Determinantes de orden 2 y 3.
3.2.1. Definiciones.
3.2.2. Propiedades.
3.3. Determinantes de orden n
3.3.1. Definición.
3.4. Cálculo de determinantes.
3.4.1. Cálculo de determinantes de orden 3 por Sarrus, utilizando propiedades, por desarrollos y por Gauss.
3.4.2. Cálculo de determinantes de orden n por desarrollos, por propiedades o por Gauss.
3.5. Fórmulas de Cramer para sistemas de n ecuaciones con n incógnitas compatibles determinados.
3.6. Cálculo de la matriz inversa aplicando determinantes.
3.7. Rango de una matriz.
3.7.1. Cálculo del rango aplicando determinantes.
Tema 4. Resolución de sistemas mediante determinantes
4.1. Teorema de Rouche-Frobenius
4.2. Discusión de sistemas mediante determinantes.
4.3. Forma matricial de un sistema de ecuaciones.
Procedimientos
1. Utilización de expresiones algebraicas como recurso del lenguaje matemático.
2. Desarrollar las destrezas suficientes para comprender y utilizar los desarrollos teóricos.
3. Inferir leyes, propiedades y relaciones.
4. Justificar propiedades.
5. Distinguir entre prueba y demostración.
6. Realizar razonamientos deductivos: por inducción, por reducción al absurdo, búsqueda de contraejemplos.
7. Descubrir falacias en los razonamientos, argumentos defectuosos, incoherencias, contradicciones, mal uso de la analogía, etc.
8. Utilizar los criterios de equivalencia de sistemas de ecuaciones lineales para reducirlos a sistemas más simples.
9. Discutir sistemas de ecuaciones, como máximo de tres incógnitas, por el método de Gauss.
10. Resolver sistemas de ecuaciones compatibles por Gauss, ya sean determinados o indeterminados.
11. Discutir y resolver en los casos en que fuesen posible sistemas de ecuaciones lineales con un parámetro.
12. Resolver problemas susceptibles de ser manejados con sistemas de ecuaciones.
13. Identificar los tipos de matrices más habituales.
14. Operar con matrices: sumar, multiplicar por un escalar, multiplicar matrices y trasponer
15. Conocer y usar las propiedades de las operaciones con matrices y las propiedades que no cumplen.
16. Comprobar que una matriz dada es la inversa de otra.
17. Conocer y saber usar las propiedades de la inversa.
18. Calcular la matriz inversa de otra por el método de Gauss-Jordan, y distinguir aquellas matrices que poseen inversa de las que no la tienen
19. Resolución de ecuaciones matriciales
20. Calcular la matriz inversa de una matriz con un parámetro.
21. Resolver sistemas lineales por el método de la inversa cuando fuese posible.
22. Calcular potencias de matrices.
23. Buscar regularidades en las potencias de determinadas matrices, elaborar conjeturas sobre el término general de la potencia n-ésima de dichas matrices y demostrarlas por el principio de inducción.
24. Calcular determinantes de orden dos por definición y aplicando las propiedades.
25. Calcular determinantes de orden 3 por la regla de Sarrus, aplicando propiedades o desarrollando por una fila o columna.
26. Conocer la definición de determinantes de orden n y calcularlos desarrollando por filas o columnas, antes o después de haber hecho ceros.
27. Aplicar la teoría de determinantes al cálculo de la matriz inversa de una matriz dada.
28. Discutir un sistema de ecuaciones lineales, sin o con un parámetro, utilizando el teorema de Rouché-Fröbenius.
29. Resolverlo utilizando la regla de Cramer o usando el método de la matriz inversa.
30. Comprender los conceptos vectoriales de dependencia e independencia lineal.
31. Saber calcular rangos de matrices.
Actitudes
Las actitudes que debo intentar que el alumno o la alumna asuman como propias, no se restringen al ámbito matemático: confianza en uno mismo, utilización correcta de todas las herramientas a su alcance, curiosidad por conocer, claridad y sencillez en la descripción de hechos y procesos...
Por supuesto que todos los contenidos actitudinales de la siguiente lista están sometidos al necesario maquillaje matemático, pero la consecución de gran parte de ellos hará que los estudiantes puedan, con la ayuda de su profesor, crecer como personas.
1. Aprecio por cualidades como armonía, regularidad, pauta, cadencias, orden, simplicidad, concisión, precisión, elegancia, etc. en las Matemáticas.
2. Curiosidad por investigar.
3. Tenacidad sistemática y pensamiento independiente a la hora de investigar.
4. Confianza en las propias capacidades para afrontar una actividad matemática y cooperar al trabajar con los demás.
5. Cuestionamiento de las apreciaciones intuitivas y ver la necesidad de verificación.
6. Visión crítica y mentalidad abierta para moverse en el mundo cambiante.
7. Curiosidad e interés por la resolución de problemas algebraicos
8. Perseverancia y flexibilidad en la búsqueda de soluciones a los problemas algebraicos
9. Interés y respeto por las estrategias, modos de hacer y soluciones a los problemas algebraicos distintos de los propios
10. Aprecio de la potencia y abstracción del simbolismo que supone el álgebra
11. Valoración del lenguaje algebraico para expresar relaciones, así como por su facilidad para representar y resolver problemas
12. Adquisición de confianza en la resolución de sistemas de ecuaciones
13. Valoración de la capacidad de los métodos algebraicos para representar situaciones complejas y resolver problemas
14. Sensibilidad y gusto por la presentación ordenada y clara del proceso seguido, expresando lo que se hace y por qué se hace, y de los resultados en cálculos de problemas algebraicos
Objetivos mínimos
1. Interpretar un cuadro o tabla de números como una matriz, identificando elementos concretos de la misma.
2. Identificar y formular los tipos de matrices más usuales.
3. Conocer y adquirir destreza en las operaciones con matrices: suma, producto por un escalar, producto de matrices, trasposición y saber cuándo pueden realizarse y cuando no. Conocer la no conmutatividad del producto.
4. Conocer la matriz identidad (elemento neutro para la multiplicación) y la definición de matriz inversa. Saber cuando una matriz tiene inversa y, en su caso, calcularla (hasta matrices 3x3)
5. Saber calcular rangos de matrices, ya sea por Gauss como por determinantes.
6. Interpretar un determinante como un número asociado a una matriz cuadrada.
7. Saber calcular determinantes de orden 2 y 3, utilizando los distintos métodos: regla de Sarrus (3x3), adjuntos, método de Gauss.
8. Conocer las propiedades de los determinantes y saber aplicarlas al cálculo de éstos.
9. Saber interpretar un determinante.
10. Calcular la matriz inversa de una dada mediante el uso de determinantes.
11. Conocer que tres vectores de R3 son linealmente dependientes si, y sólo si, su determinante es cero.
12. Transcribir situaciones como sistemas de ecuaciones y resolverlas, cuando sea posible.
13. Saber expresar un sistema de ecuaciones en forma matricial y conocer el concepto de matriz ampliada del mismo.
14. Conocer lo que son sistemas compatibles, determinados e indeterminados, e incompatibles.
15. Saber discutir un sistema de ecuaciones lineales con no más de tres incógnitas y que dependa, como mucho, de un parámetro y, en su caso, resolverlo por todos los métodos posibles.
16. Aplicar el teorema de Rouché-Fröbenius al estudio de sistemas de ecuaciones lineales.
Criterios de evaluación
1. Interpreta una matriz, identificando elementos concretos de la misma.
2. Identifica y formula los tipos de matrices más usuales.
3. Opera correctamente con matrices.
4. Calcula el rango de una matriz por el método de Gauss o usando determinantes.
5. Calcula la matriz inversa de una dada usando procedimientos elementales, o mediante determinantes
6. Interpreta un determinante.
7. Desarrolla un determinante usando los métodos de Gauss, de los adjuntos o la regla de Sarrus (3x3)
8. Resuelve determinantes mediante las propiedades de los mismos.
9. Transcribe situaciones reales como sistemas de ecuaciones lineales y las resuelve.
10. Discute sistemas de ecuaciones lineales usando el teorema de rouché Frobenius
11. Conoce y utiliza los distintos métodos de resolución de sistemas :Gauss, regla de Cramer, matricial.
12. Resuelve sistemas de ecuaciones lineales dependientes de un parámetro.
13. Aplica los sistemas de ecuaciones en casos sencillos de eliminación de parámetros.
14. Usa la notación matemática con corrección y aprecia su utilidad.
Temas transversales
Debido a la actual situación política mundial, con una guerra en marcha contra el terrorismo y con una más que probable actitud de odio y rechazo a la cultura musulmana, aprovecharemos este bloque para dar a conocer al alumnado las aportaciones que dicha cultura realizó en el desarrollo de nuestro sistema de numeración y del álgebra, intentando en todo momento que nuestros alumnos sepan valorar lo bueno de dicha cultura y que sepan que generalizar y definir a todo musulmán como un posible terrorista es, como poco, una actitud arrogante y racista que no hace justicia a todo un pueblo que históricamente ha sido conocido por todo lo contrario.
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