Bloque III.- Análisis

Contenidos

Conceptos

Tema 9. Límites de funciones. Continuidad

9.1. Límite de una función en un punto. Funciones convergentes.
9.2. Límites laterales.
9.3. Propiedades de las funciones convergentes.
9.4. Límites infinitos cuando x tiende a un número real.
9.5. Límites finitos en el infinito.
9.6. Límites infinitos en el infinito.
9.7. Ramas infinitas y asíntotas de una función.
9.8. Operaciones con límites de funciones.
9.9. Cálculo de límites.
9.10. Funciones continuas. Continuidad en un punto y en un intervalo.
9.11. Continuidad lateral.
9.12. Discontinuidad de una función. Tipos.
9.13. Continuidad de las funciones elementales. Operaciones con funciones continuas.
9.14. Propiedades de las funciones continuas.
9.14.1. Teorema de la conservación del signo.
9.14.2. Teorema de la acotación en un punto.
9.14.3. Teorema de Bolzano.
9.14.4. Teorema de Darboux o de los valores intermedios.
9.14.5. Teorema de la acotación en un intervalo cerrado.
9.14.6. Teorema de Weierstrass.

Tema 10. Derivadas. Técnicas de derivación

10.1. Tasa de variación media e instantánea.
10.2. Derivada de una función en un punto.
10.3. Interpretación geométrica de la derivada.
10.4. Derivadas laterales.
10.5. Función derivada.
10.6. Derivadas sucesivas.
10.7. Operaciones con funciones derivadas.
10.8. Cálculo de derivadas.
10.9. Diferencial de una función.

Tema 11. Aplicaciones de las derivadas.

11.1. Recta tangente y normal a una curva en un punto.
11.2. Continuidad de las funciones derivables.
11.3. Crecimiento y decrecimiento de una función.
11.4. Extremos relativos.
11.4.1. Teorema de Rolle.
11.4.2. Teorema del Valor Medio.
11.4.3. Aplicaciones.
11.4.4. Teorema de Cauchy.
11.5. Determinación de extremos relativos.
11.6. Optimización de funciones.
11.7. Concavidad.
11.8. Puntos de inflexión.
11.9. Aplicaciones de las derivadas al cálculo de límites. Regla de L´Hopital.

Tema 12. Representación gráfica de funciones.

12.1. Dominio y recorrido de una función.
12.2. Puntos de corte con los ejes. Simetría. Periodicidad.
12.3. Asíntotas y ramas infinitas.
12.4. Monotonía. Extremos relativos. Concavidad. Puntos de inflexión.
12.5. Intervalos de signo constante. Regiones.
12.6. Representación de funciones.

Tema 13. Cálculo de primitivas

13.1. Primitiva de una función
13.2. La integral indefinida. Propiedades.
13.3. Métodos de integración.
13.3.1. Integrales inmediatas.
13.3.2. Integración por partes.
13.3.3. Integración de funciones racionales.
13.3.4. Integración por cambio de variable.

Tema 14. Integral definida. Aplicaciones.

14.1. Cálculo de áreas por el método exhaustivo.
14.2. Áreas de recintos planos.
14.3. Integral definida. Propiedades.
14.4. Teorema del valor medio.
14.5. Teorema fundamental del cálculo integral.
14.6. Regla de Barrow.
14.7. Área encerrada bajo una curva
14.8. Área encerrada por dos curvas.
14.9. Volumen de un cuerpo de revolución.


Procedimientos
1. Representación de intervalos y entornos en la recta real y estudio de su acotación.
2. Cálculo del dominio de funciones elementales.
3. Utilización de las gráficas de funciones dadas para realizar el estudio de sus características.
4. Estudio de las características de una función dada mediante su expresión analítica.
5. Saber encontrar la inversa de una función dada y aplicar las propiedades de la composición de funciones.
6. Interpretar gráficamente el límite de una función en un punto, los límites laterales de una función en un punto y el límite de una función en el infinito.
7. Encontrar las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de una función.
8. Calcular los límites utilizando las propiedades relativas a las operaciones con funciones convergentes y con funciones que tienden al infinito.
9. Utilizar con corrección los procedimientos que resuelven las indeterminaciones más usuales.
10. Utilización de la representación gráfica de las funciones en el estudio de la continuidad de las mismas.
11. Estudio de la continuidad de las funciones dadas analíticamente, mediante el cálculo de límites.
12. Clasificación de las discontinuidades que presenta una función dada por medio de su gráfica.
13. Uso de la continuidad de las funciones elementales y de las operaciones con funciones continuas en el estudio de la continuidad de las funciones dadas analíticamente.
14. Calcular la derivada de una función simple en un punto utilizando la definición.
15. Calcular la función derivada de cualquier función dada usando la tabla de derivadas.
16. Saber determinar las rectas tangente y normal a una curva en un punto dado.
17. Hacer uso de las derivadas laterales para el estudio de la derivabilidad.
18. Encontrar las derivadas sucesivas de una función dada en casos sencillos.
19. Utilizar la diferencial en casos sencillos.
20. Relacionar continuidad y derivabilidad.
21. Saber encontrar los intervalos de monotonía y concavidad de una función y analizar la monotonía en un punto.
22. Calcular los extremos relativos y puntos de inflexión de funciones derivables.
23. Resolver problemas de optimización.
24. Utilizar las derivadas para la resolución de las indeterminaciones que se presentan en el cálculo de límites.
25. Saber estudiar las características de una función dada.
26. Representar funciones a través de su expresión algebraica.
27. Interpretar las gráficas de las funciones.
28. Utilización de la tabla de integrales inmediatas en el cálculo de primitivas.
29. Cálculo de primitivas mediante técnicas elementales.
30. Cálculo de primitivas sujetas a condiciones dadas de antemano.
31. Utilización de los métodos de integración apropiados en el cálculo de primitivas.
32. Utilización del método exhaustivo en el cálculo de áreas.
33. Utilización del teorema del valor medio en la resolución de ejercicios sencillos.
34. Relación del cálculo diferencial y integral a partir del teorema fundamental del cálculo.
35. Calculo de integrales definidas mediante la Regla de Barrow.
36. Cálculo de áreas de recintos planos comprendidos entre funciones mediante la integral definida.

Actitudes

1. Valorar la utilidad de la equivalencia de la recta real y del conjunto de los números reales.
2. Sensibilidad y gusto por la precisión y el cuidado en la representación gráfica de las funciones y en el análisis de las mismas.
3. Gusto por la claridad y el rigor matemático en los procesos de resolución de actividades.
4. Reconocimiento de la gran utilidad del lenguaje funcional y gráfico como potente herramienta del análisis matemático.
5. Valorar la gran utilidad del cálculo de límites en la representación gráfica de funciones y en el cálculo de asíntotas.
6. Gusto por la precisión y rigor en los procesos que nos permiten calcular límites.
7. Valorar la utilidad de la regla de Ruffini y del número e en la resolución de algunos tipos de límites.
8. Apreciar el cálculo de límites en el estudio de la continuidad de una función.
9. Rigor y claridad en los procesos que nos permite estudiar la continuidad de funciones dadas.
10. Valorar la utilidad del límite en el cálculo de derivadas de una función en un punto y de funciones derivadas.
11. Apreciar la importancia que tiene la derivada en el cálculo de rectas tangentes y normales a una curva dada.
12. Reconocimiento de la importancia de los conceptos de derivada y de diferencial y de sus aplicaciones en otras ciencias.
13. Valorar la utilidad de las derivadas en los problemas reales de optimización.
14. Apreciar la utilidad de usar la derivada como herramienta para el cálculo de límites.
15. Reconocer el rigor de las demostraciones matemáticas y de la utilidad de generalizar dicho rigor a la vida cotidiana.
16. Sensibilidad y gusto por la elaboración y presentación cuidada de las gráficas.
17. Incorporación del lenguaje gráfico a la forma de tratar la información.


Objetivos mínimos.

1. Comprender los conceptos asociados al conjunto de números reales.
2. Manejar intervalos, entornos y conjuntos de R, estudiando en ellos su acotación.
3. Estudiar el dominio, recorrido, monotonía, extremos relativos, acotación, simetría y periodicidad de las funciones dadas mediante su representación gráfica.
4. saber componer funciones y encontrar la función inversa de una función dada.
5. Comprender el concepto de límite de una función en un punto y en el infinito.
6. Saber aplicar los conceptos de límite de una función en un punto y de límites laterales para estudiar las características de una función. (continuidad, asíntotas verticales, etc.)
7. Saber aplicar el concepto de límite de una función en el infinito para estudiar la existencia de asíntotas horizontales y oblicuas.
8. Comprender el concepto de función continua en un punto y en un intervalo.
9. Interpretar y clasificar las discontinuidades de una función dada mediante una gráfica o de forma analítica.
10. Estudiar la continuidad de funciones haciendo uso de la continuidad de las funciones elementales y de las operaciones con funciones continuas.
11. Valorar la gran utilidad que tiene la representación gráfica de una función en el estudio de la continuidad.
12. Conocer las propiedades algebraicas del cálculo de límites, los tipos de indeterminación existentes y las técnicas para resolverlas.
13. Saber determinar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de una función en un punto.
14. Comprender el concepto de derivada de una función en un punto, así como su significado geométrico.
15. Saber estudiar la derivabilidad de una función en un punto haciendo uso de las derivadas laterales.
16. Saber encontrar la función derivada de una función dada mediante la definición y mediante las técnicas de derivación.
17. Saber distinguir entre función derivada y derivada de una función en un punto.
18. Conocer y saber aplicar el teorema de derivación de funciones compuestas (la regla de la cadena) y su aplicación en el cálculo de las derivadas de funciones.
19. Conocer la relación existente entre continuidad y derivabilidad de una función en un punto.
20. Utilizar el concepto de derivada para el estudio de características de funciones (derivabilidad, crecimiento, decrecimiento, intervalos de monotonía, etc.)
21. Saber determinar la continuidad y derivabilidad de funciones definidas por trozos.
22. Conocer la regla de L´Hopital y saber aplicarla al cálculo de límites para resolver indeterminaciones.
23. Saber determinar si los puntos críticos de una función son extremos locales o puntos de inflexión.
24. Saber aplicar la teoría de funciones continuas y derivables para resolver problemas de optimización.
25. Saber representar de forma aproximada la gráfica de una función de la forma y=f(x) indicando dominio, simetrías, periodicidad, cortes con los ejes, continuidad, asíntotas, regiones de crecimiento y de decrecimiento, extremos locales, regiones de concavidad (f´´(x)<0) y convexidad y puntos de inflexión.
26. Partiendo de la representación gráfica de una función o de su derivada, ser capaz de obtener información sobre la propia función (límites, límites laterales, continuidad, asíntotas, derivabilidad, crecimiento y decrecimiento, etc.) y sobre la función derivada de la dada.
27. Comprender el concepto de primitiva de una función y su relación con la integral indefinida.
28. Dadas dos funciones, mediante sus expresiones analíticas o mediante sus representaciones gráficas, saber reconocer si una es primitiva de la otra.
29. Saber la relación existente entre dos primitivas de una misma función.
30. Dada una familia de primitivas, saber determinar una que pase por un punto dado.
31. Saber calcular primitivas de funciones dadas, ya sean inmediatas o mediante el uso de los métodos de integración por cambio de variable, por partes, o de funciones racionales.
32. Conocer el método de integración por partes y saber aplicarlo reiteradamente.
33. Conocer la técnica de integración por cambio de variable.
34. Conocer las propiedades de linealidad de la integral definida con respecto tanto al integrando como al intervalo de integración.
35. Conocer las propiedades de monotonía de la integral definida con respecto al integrando.
36. Conocer la interpretación geométrica de la integral definida de una función. (el área como límite de sumas superiores e inferiores)
37. Conocer la noción de función integral y saber el teorema fundamental del cálculo integral y la regla de Barrow.
38. Saber calcular el área de recintos planos limitados por curvas.


Criterios de evaluación

1. Conoce los conceptos asociados al conjunto de los números reales.
2. Maneja intervalos, entornos y subconjuntos de R, estudiando su acotación.
3. Estudia el dominio, recorrido, monotonía, extremos relativos, acotación, simetrías y periodicidad de las funciones dadas a partir de su gráfica o de su expresión analítica.
4. Dadas unas condiciones, representa gráficamente funciones.
5. Sabe componer funciones y encuentra la inversa de una función dada.
6. Sabe descomponer una función en funciones simples.
7. Define y comprende límite de una función en un punto y en el infinito.
8. Determina las ramas infinitas y las asíntotas de una función.
9. Interpreta los límites finitos e infinitos en la representación gráfica de funciones.
10. Calcula límites elementales y resuelve indeterminaciones.
11. Define y comprende el concepto de función continua en un punto.
12. A partir de una gráfica o de la forma analítica de una función, interpreta y clasifica las discontinuidades.
13. Estudia la continuidad de funciones dadas haciendo uso de la continuidad de las funciones elementales y de las operaciones con funciones continuas.
14. Comprende y define el concepto de derivada de una función en un punto, asi como sabe interpretar dicho concepto.
15. Sabe estudiar la derivabilidad de una función en un punto.
16. Halla la función derivada de una función dada.
17. Halla la ecuación de la recta tangente y normal a una función en un punto.
18. Utiliza las operaciones con funciones derivadas y las reglas de derivación en el cálculo de derivadas.
19. Determina los intervalos de crecimiento, concavidad, los máximos y mínimos de una función y los puntos de inflexión.
20. Sabe optimizar funciones que dependan de una sola variable, y resuelve problemas reales de optimización.
21. Dada la expresión analítica de una función, analiza sus características.
22. Representa funciones expresadas analíticamente.
23. Interpreta las gráficas de las funciones.
24. Relaciona la gráfica de una función con la gráfica de su derivada.
25. Define primitiva de una función y su relación con la integral indefinida.
26. Utiliza los métodos de integración para calcular primitivas de funciones dadas.
27. Calcula áreas de recintos limitados por una o varias curvas, a partir de la integral indefinida.
28. Explica los teoremas relativos al cálculo integral y su relación con el cálculo diferencial.
29. Aplica correctamente la regla de Barrow en el cálculo de primitivas y tiene en cuenta el “signo” en las áreas.