También hemos trabajado el problema de la cuadratura del círculo que planteamos ayer, introduciendo los otros dos problemas clásicos de la geometría griega, la trisección del ángulo y la duplicación del cubo. Aquí os dejo una lectura, que por su interés, sería conveniente que leáis con atención, sobre todo los que estais matriculados en la asignatura Dibujo Técnico II.
Geometría con regla y compás.
Entre los griegos se consideraba que la forma correcta de resolver los problemas geométricos (ellos no usaban ecuaciones como nosotros: aún no había nacido Descartes) era utilizando únicamente dos intrumentos: la regla (sin graduar) y el compás.
La culpa es muy posible que sea de Platón, pues consideraba “por alguna mística razón solo conocida por él y su Dios geómetra” que resolver los problemas geométricos por medios mecánicos, es decir, cualquier otro que no fuese la regla y el compás, era vulgar y degradante. Así lo cuenta Plutarco en sus Vidas paralelas: “...Platón se indispuso e indignó contra ellos [Eudoxo y Arquitas], porque degradaban y echaban a perder lo más excelente de la geometría con trasladarse de lo incorpóreo e intelectual a lo sensible y emplearla en los cuerpos que son objeto de oficios toscos y manuales...”.
Uno puede pensar que esta obsesión de Platón por la regla y el compás era un puro capricho, y puede que acierte: posiblemente fue a causa del valor casi divino que daba a las ideas por lo que concedió especial importancia a unos objetos con una simetría tan perfecta como son rectas y circunferencias. Además, todo hay que decirlo, también debió influir cierto aristocrático desprecio por su parte hacia todo lo que sonase a oficio artesano.
Sin embargo, por aquel entonces el platonismo no era la única forma de pensar. La escuela de Demócrito había introducido el atomismo en geometría de tal modo que consideraban los segmentos, las superficies y volúmenes constituidos por una cantidad finita de átomos. Resulta que este método, aunque poco riguroso, permitía encontrar fácilmente nuevos resultados, y un futuro esplendoroso se abría para la geometría.
Pero no fueron por ahí los tiros. Los pensadores griegos se encontraron con dos métodos a su disposición: uno riguroso, pero estéril, y otro, el atomista, informal pero fértil. ¿Quién ganó? Pues fue el idealismo platónico el que venció al materialismo atomista, lo cual solo se explica si pensamos que las matemáticas griegas fueron el producto de una clase ociosa basada en la esclavitud y más interesada en la contemplación que en la invención: ¿para qué cambiar el mundo si a ellos les iba de miedo?
En fin, que armados con tan corto arsenal los griegos se lanzaron al estudio de la geometría. Y no les fue tan mal, aunque en su camino se encontraron con tres problemas que fueron incapaces de resolver: la cuadratura del círculo, la duplicación del cubo y la trisección del ángulo. La razón solo se supo dos mil años después: eran irresolubles.
Y lo cierto es que nada en su descripción hace sospechar grandes dificultades: la cuadratura del círculo trata de construir un cuadrado con la misma superficie que un círculo dado, mientras que la trisección del ángulo busca dividir un ángulo dado en tres ángulos iguales. La duplicación del cubo tiene su propia leyenda: en tiempos de Pericles una epidemia de peste estaba diezmando la población. Los atenienses mandaron una delegación al oráculo de Delfos para preguntarle acerca de qué podían hacer para aplacar a los dioses. El Oráculo les contestó que debían duplicar en tamaño el altar cúbico dedicado a Apolo. Los griegos se pusieron a la faena y construyeron un altar cúbico con el doble de lado. Pero la peste no cesó. Y es que al doblar el lado habían multiplicado el volumen por ocho, y no es eso lo que se les pedía...
Imposibles...
Caprichos divinos aparte, lo cierto es que los problemas descritos no parecen tan difíciles, ¿verdad? Sin embargo, los griegos, que sabemos fueron excelentes geómetras, fracasaron en sus intentos de resolverlos. ¿Por qué? Pues muy sencillo: porque no se puede. Literalmente, los tres problemas describen tareas que son imposibles de realizar usando únicamente regla y compás.
Veamos por qué: cualquier operación que realicemos con una regla es equivalente a la resolución de una ecuación de primer grado, mientras que las realizadas con un compás equivalen a resolver ecuaciones de segundo grado, lo cual es lógico, pues con la regla dibujamos rectas, objetos que se expresan mediante ecuaciones de primer grado, y con el compás circunferencias, las cuales se expresan mediante ecuaciones de segundo grado. Dicho de otro modo: con la regla y el compás podemos realizar sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, y raíces de índice igual a una potencia de dos.
Pero resulta que la resolución de la cuadratura del círculo requiere conocer el valor del número π, que es un número trascendente (es decir, que no se puede obtener como solución de ninguna ecuación algebraica); resulta también que para trisecar el ángulo es necesario realizar raíces cúbicas, y que para duplicar el cubo necesitamos la raíz cúbica de dos. Y como el cálculo de π y de raíces cúbicas no es posible, por lo dicho anteriormente, utilizando únicamente regla y compás, nuestros tres problemas se quedan sin solución.
Y lo más tremendo es que alguno de los resultados que justifican la imposibilidad de estos problemas, como por ejemplo la trascendencia de π, solo se obtuvieron veintitantos siglos después de que se planteasen.
...aunque no tanto
¿Quiere decirse entonces que no podemos resolver unos problemas en apariencia tan sencillos? No: los tres famosos problemas de la geometría griega solo son irresolubles si nos limitamos a la regla sin graduar y al compás. Pero las dificultades se desvanecen cuando podemos utilizar otro tipo de curvas o hacer marcas sobre nuestra regla. De hecho, no todos los griegos se plegaron a dicha limitación, y fueron capaces de resolver los problemas de marras utilizando nuevas y sorprendentes curvas, de las que a continuación doy algunos ejemplos:
- La espiral de Arquímedes: es el lugar geométrico descrito por un punto que se desplaza a lo largo de una semirrecta con velocidad uniforme al tiempo que esta gira, también uniformemente. El mismo Arquímedes la atribuye a su amigo Conon de Alejandría. Con ella se resuelve la trisección del ángulo y la cuadratura del círculo.
- La trisectriz de Hipias: curva inventada por Hipias de Ellis. Permite la duplicación del cubo y la trisección del ángulo.
- Las cónicas: quizá el descubrimiento más importante relacionado con los tres problemas sea el que realizó Menecmo intentando conseguir la duplicación del cubo: las cónicas, curvas que resultan de cortar un cono mediante un plano y que por su importancia merecen su propia historia.
¿Entonces?
Si ya los griegos los resolvieron, ¿dónde reside la importancia de estos tres problemas? Pues reside precisamente en que, gracias a la limitación de la regla y el compás, los matemáticos se han visto obligados a investigar nuevos campos en busca de nuevas herramientas que los resolviesen o de más profundas teorías que explicasen su imposibilidad. Y es que no hay nada como las dificultades para aguzar el ingenio.
De todas formas, no todo han sido aciertos: la aparente sencillez de la cuadratura del círculo ha obsesionado durante siglos a grandes y pequeñas mentes y dado lugar a todo tipo de extravagancias (ver como ejemplo el caso Hobbes). Por eso dijo Underwood Dudley que "Uno de los inesperados efectos beneficiosos de la televisión es que la gente ahora la ve en vez de producir panfletos cuadrando el círculo."
Aunque, la verdad, yo preferiría que el personal siguiese con los panfletos.
Para terminar, una curiosidad: la duplicación del hipercubo tetradimensional podría hacerse con regla y compás, pues en cuatro dimensiones lo que hace falta no es la raíz cúbica de dos, sino la raíz cuarta.
Fuente: http://www.epsilones.com/paginas/t-historias1.html
Por cierto, observad el escudo de nuestro departamento de Matemáticas, aparece un compás.
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