lunes, 15 de diciembre de 2008
domingo, 14 de diciembre de 2008
La verdad incomoda
Soy asiduo "escuchante" de un programa de radio que os recomiendo: "No es un día cualquiera", de Radio Nacional de España, dirigido por la periodista Pepa Fernández. En el programa de hoy la tertulia ha tenido como tema central un artículo de Fernando Villespin, "La verdad incomoda" sobre el estado de la educación en España, con el que estoy totalmente de acuerdo.
Si teneis tiempo, después del examen claro, os recomiendo que lo leais, y que escucheis el programa. Tal y como está la televisión y otros medios de comunicación, es de agradecer un programa hecho por y para personas sensibles y críticas.
Si teneis tiempo, después del examen claro, os recomiendo que lo leais, y que escucheis el programa. Tal y como está la televisión y otros medios de comunicación, es de agradecer un programa hecho por y para personas sensibles y críticas.
Diario de clases: Jueves 11 de Diciembre de 2008
Hoy hemos seguido representando graficamente funciones racionales. Hemos comenzado a representar funciones trascendentales:
Al no haber dado tiempo a trabajarlas adecuadamente en clase, la representación gráfica de funciones racionales y trascendentes no serán materia de examen en la prueba que realizaremos el lunes 15. Pasarán a formar parte de los contenidos del primer examen del Bloque II.
Al no haber dado tiempo a trabajarlas adecuadamente en clase, la representación gráfica de funciones racionales y trascendentes no serán materia de examen en la prueba que realizaremos el lunes 15. Pasarán a formar parte de los contenidos del primer examen del Bloque II.
miércoles, 10 de diciembre de 2008
Diario de clases: Miercoles 10 de Diciembre de 2008
Hoy hemos fijado la hora del examen del próximo lunes día 15 de diciembre. El examen comenzará a las 11:00 y finalizará a las 13:20
Se ha trabajado la representación gráfica de funciones racionales.
Ejercicio
1: Representa graficamente la función
Ejercicio 2.- Representa graficamente la función:
Se ha trabajado la representación gráfica de funciones racionales.
Ejercicio
1: Representa graficamente la función
Ejercicio 2.- Representa graficamente la función:
martes, 9 de diciembre de 2008
No te desanimes, ¡¡¡esfuerzate!!!
Aquí os dejo el video de una presentación que he recibido. He quitado una de las diapositivas para que no se difumine el mensaje.
Diario de clases: Martes 9 de Diciembre de 2008
Hoy hemos comenzado a trabajar la representación gráfica de funciones. En temas anteriores hemos desarrollado herramientas que nos permiten estudiar mas pormenorizadamente las funciones. Sólo nos queda pues, usar dicha información para poder representarlas graficamente.
En el día de hoy he enumerado todo lo que hay que estudiar de una función y he explicado dos conceptos nuevos:
1.- El estudio de la simetría de una función
2.- El estudio de las asíntotas oblicuas.
Hemos representado
la siguiente función:
Mañana representaremos otra función polinómica y una racional.
En el día de hoy he enumerado todo lo que hay que estudiar de una función y he explicado dos conceptos nuevos:
1.- El estudio de la simetría de una función
2.- El estudio de las asíntotas oblicuas.
Hemos representado
la siguiente función:Mañana representaremos otra función polinómica y una racional.
Tema 11.- Representación gráfica de funciones
Una de las ideas más fecundas y brillantes del siglo XVII fue la de la conexión entre el concepto de función y la representación gráfica de una curva.
Los matemáticos de aquella época sólo admitían como funciones las gráficas que respondían a una fórmula. Fue a mediados del siglo XIX cuando se amplió el concepto de función a relaciones de ciertos tipos dadas graficamente (o de otro modo), aunque no hubiera una fórmula que las describiera.
Los conceptos y procedimientos del cálculo de límites y derivadas permiten, en la actualidad, indagar cómoda y eficazmente sobre las características mas relevantes de funciones dadas mediante fórmulas y en consecuencia, proceder a su representación gráfica. Hoy en día, a través de calculadoras gráficas o mediante el uso de ordenadores, la representación gráfica de funciones se consigue de forma automática e instantanea.
En esta unidad vamos a echar mano de todos los recursos que hemos aprendido anteriormente para representar graficamente una función dada mediante su expresión analítica.
Para ello, estudiaremos:
¿Dónde está definida?
¿Es continua?
¿Es derivable?
¿Tiene ramas infinitas?
¿Hay asíntotas?
¿Como se situa la curva respecto a las asíntotas?
¿Cuales son los puntos singulares?
¿Tiene puntos de inflexión?
¿Donde corta a los ejes?
¿Tiene simetrías? ¿y periodicidades?
Recursos:
Mapa conceptual
Solucionario del Libro
Cuadernillo y solucionario
Biografía de matemáticos
Webs recomendadas
Representación gráfica de una función
Gráfica de funciones explícitas
Representación de funciones
Representación gráfica de funciones explícitas. Galilei
REPRESENTACIÓN GRAFICA DE FUNCIONES DERIVABLES
jueves, 4 de diciembre de 2008
Diario de clases: Jueves 4 de Diciembre de 2008
Hoy hemos hecho ejercicios de recapitulación de aplicaciones de derivadas:
Ejercicio 1.- Apoyándote en los teoremas de Bolzano y de Rolle demuestra que la siguiente ecuación sólo tiene una única solución real:
Ejercicio 2.- Si la ecuación siguiente tiene tres soluciones reales, ¿qué signo tendrá p? Explícalo razonadamente
Ejercicio 3.- En una explotación petrolifera hay abiertos 18 pozoz que producen 102 barriles por día cada uno. Se ha comprobado que por cada nuevo pozo que se abre, la producción diaria de cada pozo se reduce en 3 barriles (19 pozos producirán 99 bariles cada uno) ¿Cuántos pozos debemos abrir si queremos optimizar la producción de petroleo?
miércoles, 3 de diciembre de 2008
Diario de clases: Miercoles 3 Diciembre 2008
Hoy hemos trabajado ejercicios de aplicaciones de la derivada. Hemos trabajado ejercicicios relacionados con los Teoremas de Rolle y del Valor Medio, así como ejercicios de estudio de funciones a partir de la gráfica de su derivada primera y segunda, y viceversa, estudio de la función derivada a partir de la gráfica de la función.
Hemos realizado los siguientes ejercicios:
Ejercicio 1.- Calcula los parámetros a, b y k para que la función siguiente cumpla el Teorema de Rolle en el intervalo [0,2]. Una vez calculados, calcula el valor donde se cumple la tesis de dicho teorema.
Ejercicio 2.- Las siguientes gráficas se corresponden con f '(x) y con f ''(x). Identifícalas y estudia la continuidad, derivabilidad, crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos, puntos de inflexión y concavidad y convexidad de la función f.
Ejercicio 3.- Dada la gráfica de la función f(x) en el intervalo [-3,3] , representa razonadamente la función f '(x)
Recordad que si teneis dudas podeis quedar conmigo en el recreo o publicad un comentario.
Hemos realizado los siguientes ejercicios:
Ejercicio 1.- Calcula los parámetros a, b y k para que la función siguiente cumpla el Teorema de Rolle en el intervalo [0,2]. Una vez calculados, calcula el valor donde se cumple la tesis de dicho teorema.
Ejercicio 3.- Dada la gráfica de la función f(x) en el intervalo [-3,3] , representa razonadamente la función f '(x)
domingo, 30 de noviembre de 2008
sábado, 29 de noviembre de 2008
viernes, 28 de noviembre de 2008
Fractales
No se pierdan este estupendo y lindo vídeo sobre fractales elaborado por un estudiante de la Universidad de Almería, Antonio Carlos Márquez:
Tema 10.- Aplicaciones de la Derivada
La obtención de la tangente a una curva en uno de sus puntos y el cálculo de la velocidad instantanea de un movil son problemas históricos que dieron lugar, en su momento, a la noción de derivada. Sin embargo fueron los problemas de optimización los que aportaron mayor impulso a la busqueda de una teoría que diera generalidad a todos los problemas particulares que se habían planteado.La ciencia, la técnica, las propias matemáticas e, incluso, la vida cotidiana están plagadas de problemas de optimización. Muchas cuestiones importantes se plantean de este modo: "qué es lo óptimo en estas circunstancias". Muchos de los problemas de máximos y mínimos ya fueron abordados por los griegos, como, por ejemplo, el camino que recorre la luz para llegar de un punto a otro mediante reflexión (Herón, siglo I a. C.) Antes de la invención del cálculo diferencial, cada uno de estos problemas se abordaba mediante un procedimiento específico, no generalizable a los demas. Actualmente, muchos de estos problemas son simples aplicaciones de las derivadas.
En esta Unidad verás:
Las aplicaciones de las derivadas son numerosas. En esta unidad se revisan y se sistematizan algunas ya conocidas y se estudian otras nuevas:
- Recta tangente a una curva en uno de sus puntos: conocida la abcisa del punto, sabremos hallar el valor de la derivada en ese punto y por tanto la pendiente de la recta tangente en él.
- Obtención de los máximos y mínimos relativos de las funciones derivables.
- Resolución de problemas de optimización. Conseguir el coste mínimo o la ganancia máxima en un negocio, el volumen máximo de una figura sometida a restricciones, ... son problemas de optimización.
- El estudio de la curvatura de una función (concava o convexa) lo realizaremos usando la segunda derivada
- La regla de L'Hopital nos permitirá ampliar nuestros recursos para el cálculo de límites.
- Los Teoremas del Valor Medio y de Rolle nos van a permitir demostrar muchas propiedades interesantes.
Recursos:
Desarrollo del Tema
Ideas básicas
Mapa conceptual
Solucionario de las actividades del tema
Cuadernillo y solucionario
Presentación Power Point
Biografia de Matemáticos
Web recomendada 1
Web recomendada 2
Web recomendada 3: clasesdeapoyo.com
Apuntes de continuidad
Apuntes de funciones elementales
Apuntes de interpretación analítica de la derivada
Apuntes de interpretación geométrica de la derivada
Apuntes de Teoremas de derivabilidad
Problemas resueltos de rectas tangentes y normales
Problemas resueltos de la Regla de L'Hopital
Problemas resueltos de optimización
lunes, 10 de noviembre de 2008
Examen de Análisis Matemático I
Os adjunto el examen que hemos realizado hoy.
Examen Análisis Matemático I 1/2 curso 08/09
En breve os colgaré la corrección y los criterios de corrección
Examen Análisis Matemático I 1/2 curso 08/09
En breve os colgaré la corrección y los criterios de corrección
jueves, 30 de octubre de 2008
Examen Parcial del Bloque: Análisis Matemático I
El próximo jueves 4 de Noviembre a las 16:00 horas se realizará el examen parcial del primer bloque: Análisis Matemático I. Los contenidos de los que os examinareis serán los sig
uientes:
Os adjunto exámenes del curso pasado:
Examen Parcial Análisis I curso 07/08
Recordad que después haremos un examen final de bloque en el que os examinareis de todos los contenidos del bloque, incluidos los contenidos de los que os examináis el próximo jueves.
La nota final se calculará dividiendo por 3 la suma de las notas del examen parcial y el doble de la nota del examen final.
uientes:Os adjunto exámenes del curso pasado:
Examen Parcial Análisis I curso 07/08
Recordad que después haremos un examen final de bloque en el que os examinareis de todos los contenidos del bloque, incluidos los contenidos de los que os examináis el próximo jueves.
La nota final se calculará dividiendo por 3 la suma de las notas del examen parcial y el doble de la nota del examen final.
lunes, 20 de octubre de 2008
Reto 1.- Los números Primos
¿ Serías capaz de encontrar 1.000 números compuestos consecutivos?
Pista: si el ejercicio tiene mucha envergadura, reduce el ejercicio y acércate a él, hazlo primero con 3 números compuestos consecutivos, luego con 4, ...
Nota: Publicad vuestras soluciones en forma de comentarios
Pista: si el ejercicio tiene mucha envergadura, reduce el ejercicio y acércate a él, hazlo primero con 3 números compuestos consecutivos, luego con 4, ...
Nota: Publicad vuestras soluciones en forma de comentarios
La importancia de la Resolución de Problemas
"Resolver un problema es encontrar un camino allí donde no se conocía previamente camino alguno, encontrar la forma de salir de una dificultad, de sortear un obstáculo, conseguir el fin deseado, que no se consigue do forma inmediata, utilizando los medios adecuados."
George Polya
"Lo que se puede enseñar es la actitud correcta ante los problemas, y enseñar a resolver problemas es el camino para resolverlos (...). El mejor método no es contarles cosas a los alumnos, sino preguntárselas y, mejor todavía, instarles a que se pregunten ellos mismos."
P. Halmos
La resolución de problemas es una cuestión de gran importancia para el avance de las matemáticas y también para su comprensión y aprendizaje.
El saber hacer, en matemáticas, tiene mucho que ver con la habilidad de resolver problemas, de encontrar pruebas, de criticar argumentos, de usar el lenguaje matemático con cierta fluidez, de reconocer conceptos matemáticos en situaciones concretas, de saber aguantar una determinada dosis de ansiedad, ...pero también de estar dispuesto a disfrutar con el camino emprendido. Lo importante no es obtener la solución, sino el camino que lleva hacia ella. La habilidad para resolver problemas es una de las habilidades básicas que los estudiantes deben tener a lo largo de sus vidas, y deben usarla frecuentemente cuando dejen la escuela. Es una habilidad que se puede enseñar.
La resolución de problemas es una actividad primordial en la clase de matemáticas, no es únicamente un objetivo general a conseguir sino que además es un instrumento pedagógico de primer orden.
Un problema matemático es una situación que supone alcanzar una meta, hay obstáculos en el camino, se requiere deliberación, y se parte de un desconocimiento algorítmico.
En términos generales, para afrontar la resolución de problemas hemos de tener en cuenta:
a) Existencia de un interés. Lo que significa enfrentarnos a problemas con un cierto atractivo.
b) La no existencia de un camino inmediato.
c) Tener deseos de resolver el problema. Significa estar dispuestos a aceptar el reto.
En definitiva, aprender a resolver problemas, y aceptar que con frecuencia hay más de una respuesta a una pregunta y más de una forma de tratarla, constituye una parte fundamental tanto en la educación como en el proceso de aprendizaje de las matemáticas.
Las ventajas del enfoque basado en la resolución de problemas en cuanto al proceso de enseñanza y aprendizaje son significativas por diversas razones:
i) Los alumnos tienen la posibilidad de pensar las cuestiones con detenimiento, hacer pruebas, equivocarse, “perder el tiempo” investigando...
ii) Existe una mayor participación y un mayor grado de comprensión por parte del alumnado.
iii) Es un tipo de conocimiento basado en la experiencia (es decir, el conocimiento obtenido mediante la experiencia de hacer algo), siendo más duradero y significativo para el alumno que el conocimiento transmitido por el profesor o el libro.
iv) Los alumnos se ven inmersos en la construcción de sus propios sistemas individuales de aprendizaje y de comprensión.
v) Incide directamente en el llamado aspecto formativo, creando así estructuras mentales que trascienden a las propias matemáticas.
vi) La resolución de problemas es el núcleo central de las matemáticas, hacer matemáticas no es otra cosa que resolver problemas.
vii) Hay que tener presente que el único camino que existe para aprender a resolver problemas, es enfrentarse a los problemas.
A partir de hoy, os iré colgando retos o problemas que espero os apasionen. Aquí teneis el primero: Reto 1.- Los números primos.
George Polya
"Lo que se puede enseñar es la actitud correcta ante los problemas, y enseñar a resolver problemas es el camino para resolverlos (...). El mejor método no es contarles cosas a los alumnos, sino preguntárselas y, mejor todavía, instarles a que se pregunten ellos mismos."
P. Halmos
La resolución de problemas es una cuestión de gran importancia para el avance de las matemáticas y también para su comprensión y aprendizaje.
El saber hacer, en matemáticas, tiene mucho que ver con la habilidad de resolver problemas, de encontrar pruebas, de criticar argumentos, de usar el lenguaje matemático con cierta fluidez, de reconocer conceptos matemáticos en situaciones concretas, de saber aguantar una determinada dosis de ansiedad, ...pero también de estar dispuesto a disfrutar con el camino emprendido. Lo importante no es obtener la solución, sino el camino que lleva hacia ella. La habilidad para resolver problemas es una de las habilidades básicas que los estudiantes deben tener a lo largo de sus vidas, y deben usarla frecuentemente cuando dejen la escuela. Es una habilidad que se puede enseñar.
La resolución de problemas es una actividad primordial en la clase de matemáticas, no es únicamente un objetivo general a conseguir sino que además es un instrumento pedagógico de primer orden.
Un problema matemático es una situación que supone alcanzar una meta, hay obstáculos en el camino, se requiere deliberación, y se parte de un desconocimiento algorítmico.
En términos generales, para afrontar la resolución de problemas hemos de tener en cuenta:
a) Existencia de un interés. Lo que significa enfrentarnos a problemas con un cierto atractivo.
b) La no existencia de un camino inmediato.
c) Tener deseos de resolver el problema. Significa estar dispuestos a aceptar el reto.
En definitiva, aprender a resolver problemas, y aceptar que con frecuencia hay más de una respuesta a una pregunta y más de una forma de tratarla, constituye una parte fundamental tanto en la educación como en el proceso de aprendizaje de las matemáticas.
Las ventajas del enfoque basado en la resolución de problemas en cuanto al proceso de enseñanza y aprendizaje son significativas por diversas razones:
i) Los alumnos tienen la posibilidad de pensar las cuestiones con detenimiento, hacer pruebas, equivocarse, “perder el tiempo” investigando...
ii) Existe una mayor participación y un mayor grado de comprensión por parte del alumnado.
iii) Es un tipo de conocimiento basado en la experiencia (es decir, el conocimiento obtenido mediante la experiencia de hacer algo), siendo más duradero y significativo para el alumno que el conocimiento transmitido por el profesor o el libro.
iv) Los alumnos se ven inmersos en la construcción de sus propios sistemas individuales de aprendizaje y de comprensión.
v) Incide directamente en el llamado aspecto formativo, creando así estructuras mentales que trascienden a las propias matemáticas.
vi) La resolución de problemas es el núcleo central de las matemáticas, hacer matemáticas no es otra cosa que resolver problemas.
vii) Hay que tener presente que el único camino que existe para aprender a resolver problemas, es enfrentarse a los problemas.
A partir de hoy, os iré colgando retos o problemas que espero os apasionen. Aquí teneis el primero: Reto 1.- Los números primos.
Tema 9. Técnicas de Derivación
Adelantándose a Newton y Leibnitz, Fermat (1602-1665) fue el primero que formuló la idea de derivada, a la que llegó estudiando las tangentes a una curva con el fin de resolver problemas de máximos y mínimos. Años después, Newton llegó a ella investigando la velocidad de variación relativa de una magnitud con respecto al tiempo, considerando ambas como variables a las que denominó cantidades fluyentes. Para designar la derivada de x respecto a t, utilizó la nomenclatura
Leibnitz, al igual que Newton, progresó en la definición de derivada sin perfilar el concepto de límite (hablaba de cantidades "infinitamente pequeñas") En esta linea, designó a la derivada como cociente de dos cantidades infinitamente pequeñas, dx/dt. A pesar de lo impreciso del concepto, esta nomenclatura resultó fenomenal para el progreso del automatismo del cálculo de derivadas y sigue siendo válida en la actualidad. Las aportaciones de los matemáticos del siglo XIX confirieron rigor y precisión al concepto de derivada, y eficacia a los automatismos de cálculo.
J. Colera, R. García y M.J. Oliveira
Esquema conceptual del Tema
Tabla de derivadas
Solucionario de las actividades del Libro
Biografía de Matemáticos
Cuadernillo y Solucionario
Web recomendada
jueves, 11 de septiembre de 2008
Tema 8.- Límites de funciones. Continuidad
"Considerando la matemática desde el comienzo del mundo hasta la época de Newton, lo que él ha hecho es. con mucho, mejor que todo lo anterior" Leib
nitz (1646-1716)
Introducción histórica del Análisis Matemático
Mapa conceptual del tema
Solucionario del tema 8
Cuadernillo
Definiciones
Web recomendada
nitz (1646-1716)Introducción histórica del Análisis Matemático
Mapa conceptual del tema
Solucionario del tema 8
Cuadernillo
Definiciones
Web recomendada
Orientaciones Selectividad 07/08
Documento de Orientación para el curso 2007/2008 de la Ponencia de Matemáticas II
Modelos de exámenes de Selectividad del Curso 07/08:
Enlace muy interesante:
Examenes y Documentos de Orientación de las Ponencias de todas las asginaturas desde 2001
Evaluación
En cuanto a la evaluación del alumnado, ésta se realizará por bloques. El Bloque de Análisis lo subdividiremos en dos debido a su amplitud. La evaluación se va a realizar de la siguiente forma:
- Pruebas escritas. Se realizarán dos exámenes por bloque (Álgebra, Geometría, Análisis I, Análisis II). El primer examen se realizará a la mitad del bloque. El segundo se realizará a la finalización de éste y en él el alumno se examinará de todo el bloque. La nota del bloque será el resultado de dividir entre 3 la suma de la puntuación del primer examen con el doble del segundo. Habrá un examen- recuperación de cada bloque para aquellos alumnos que no hayan superado los objetivos del mismo. A esta prueba se podrán presentar aquellos alumnos que deseen subir nota, sin temor a poderla bajar.
- En Junio se realizará una segunda recuperación a la que se presentarán todos los alumnos con algún bloque suspenso. Al ser este examen de contenidos mínimos la nota máxima que el alumno podrá obtener será de un cinco, si la nota de examen está entre 5 y 7, un seis, si está entre 7 y 8, y un 7 si es superior a 8. No habrá limitación de número de bloques suspensos y de nota mínima.
- La nota de la convocatoria ordinaria se calculará haciendo la media aritmética de los cuatro bloques, siendo imprescindible tener los cuatro bloques aprobados. En el caso de tener algún bloque suspenso el alumno deberá presentarse a la convocatoria extraordinaria.
- En la convocatoria extraordinaria el alumno se examinará de toda la asignatura, independientemente de las partes que el alumno hubiera aprobado. Al ser este examen de contenidos mínimos la nota máxima que el alumno podrá obtener será de un cinco, si la nota de examen está entre 5 y 7, un seis, si está entre 7 y 8, y un 7 si es superior a 8. presentarse a la convocatoria extraordinaria.
Todos los exámenes se regirán por los siguientes criterios:
• Para la resolución de los ejercicios no será necesario utilizar calculadoras; no obstante, no se prohibirá su uso (siempre y cuando no sean programables o que tengan pantalla gráfica); sin embargo, durante el examen no se permitirá el préstamo de calculadoras entre estudiantes. En cualquier caso, se advierte que todos los procesos que conduzcan a la obtención de resultados deben estar suficientemente razonados.
• En los ejercicios de la prueba no se pedirán demostraciones de teoremas.
• Los criterios esenciales de valoración de un ejercicio serán el planteamiento razonado y la ejecución técnica del mismo. La mera descripción del planteamiento sin que se lleve a cabo de manera efectiva no puede ser suficiente para obtener una valoración completa del ejercicio.
• En un ejercicio en el que se pida explícitamente una deducción o justificación razonada, la mera aplicación de una fórmula no será suficiente para obtener una puntuación total.
• Aunque se podrá utilizar calculadoras, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente razonados.
• Los errores aritméticos cometidos en un apartado, no se tendrán en cuenta en la calificación de apartados posteriores que puedan verse afectados, siempre que resulten ser de una complejidad equivalente.
• Los errores en las operaciones aritméticas elementales se penalizarán con un máximo del 10 % de la nota total del ejercicio; de igual manera se penalizarán la redacción incorrecta, las faltas de ortografía o el uso incorrecto de símbolos.
• La presentación clara y ordenada se valorará positivamente.
Todas estas normas son las mismas a las que tendrán que someterse los alumnos en las Pruebas de Acceso. De hecho en dicha prueba de los cuatro ejercicios de cada examen (recibirán dos), uno será de Álgebra, otro de Geometría y otros dos de Análisis.
- Pruebas escritas. Se realizarán dos exámenes por bloque (Álgebra, Geometría, Análisis I, Análisis II). El primer examen se realizará a la mitad del bloque. El segundo se realizará a la finalización de éste y en él el alumno se examinará de todo el bloque. La nota del bloque será el resultado de dividir entre 3 la suma de la puntuación del primer examen con el doble del segundo. Habrá un examen- recuperación de cada bloque para aquellos alumnos que no hayan superado los objetivos del mismo. A esta prueba se podrán presentar aquellos alumnos que deseen subir nota, sin temor a poderla bajar.
- En Junio se realizará una segunda recuperación a la que se presentarán todos los alumnos con algún bloque suspenso. Al ser este examen de contenidos mínimos la nota máxima que el alumno podrá obtener será de un cinco, si la nota de examen está entre 5 y 7, un seis, si está entre 7 y 8, y un 7 si es superior a 8. No habrá limitación de número de bloques suspensos y de nota mínima.
- La nota de la convocatoria ordinaria se calculará haciendo la media aritmética de los cuatro bloques, siendo imprescindible tener los cuatro bloques aprobados. En el caso de tener algún bloque suspenso el alumno deberá presentarse a la convocatoria extraordinaria.
- En la convocatoria extraordinaria el alumno se examinará de toda la asignatura, independientemente de las partes que el alumno hubiera aprobado. Al ser este examen de contenidos mínimos la nota máxima que el alumno podrá obtener será de un cinco, si la nota de examen está entre 5 y 7, un seis, si está entre 7 y 8, y un 7 si es superior a 8. presentarse a la convocatoria extraordinaria.
Todos los exámenes se regirán por los siguientes criterios:
• Para la resolución de los ejercicios no será necesario utilizar calculadoras; no obstante, no se prohibirá su uso (siempre y cuando no sean programables o que tengan pantalla gráfica); sin embargo, durante el examen no se permitirá el préstamo de calculadoras entre estudiantes. En cualquier caso, se advierte que todos los procesos que conduzcan a la obtención de resultados deben estar suficientemente razonados.
• En los ejercicios de la prueba no se pedirán demostraciones de teoremas.
• Los criterios esenciales de valoración de un ejercicio serán el planteamiento razonado y la ejecución técnica del mismo. La mera descripción del planteamiento sin que se lleve a cabo de manera efectiva no puede ser suficiente para obtener una valoración completa del ejercicio.
• En un ejercicio en el que se pida explícitamente una deducción o justificación razonada, la mera aplicación de una fórmula no será suficiente para obtener una puntuación total.
• Aunque se podrá utilizar calculadoras, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente razonados.
• Los errores aritméticos cometidos en un apartado, no se tendrán en cuenta en la calificación de apartados posteriores que puedan verse afectados, siempre que resulten ser de una complejidad equivalente.
• Los errores en las operaciones aritméticas elementales se penalizarán con un máximo del 10 % de la nota total del ejercicio; de igual manera se penalizarán la redacción incorrecta, las faltas de ortografía o el uso incorrecto de símbolos.
• La presentación clara y ordenada se valorará positivamente.
Todas estas normas son las mismas a las que tendrán que someterse los alumnos en las Pruebas de Acceso. De hecho en dicha prueba de los cuatro ejercicios de cada examen (recibirán dos), uno será de Álgebra, otro de Geometría y otros dos de Análisis.
Metodología
La cantidad de contenidos de los que consta la presente asignatura y el hecho de que en las Pruebas de Acceso a la Universidad los alumnos y alumnas se examinarán de todos estos contenidos obligatoriamente, motivan que la metodología no sea todo lo activa que a este profesor le gustaría. Aunque a los alumnos se les hará participar siempre que sea posible (sacándolos a la pizarra, intentando que descubran por ellos mismos, incentivando ideas alternativas, etc. ) el peso de las explicaciones recaerán en el profesor.
En cada tema se proporcionará al alumnado relaciones de ejercicios y problemas. Tras la explicación teórica de los contenidos, se realizarán bastantes ejercicios prácticos en la pizarra de dichas relaciones, aunque siempre limitados en el número por la premura del tiempo. Debido a que este ritmo puede dejar descolgados a algún alumno, se facilitará a todo el alumnado el horario en el que estoy en el centro en labores que no son de docencia directa, incluidos recreos, para que siempre que lo necesiten acudan a resolver dudas, así como las soluciones a los ejercicios que no puedan ser realizados en la pizarra.
En cada tema se proporcionará al alumnado relaciones de ejercicios y problemas. Tras la explicación teórica de los contenidos, se realizarán bastantes ejercicios prácticos en la pizarra de dichas relaciones, aunque siempre limitados en el número por la premura del tiempo. Debido a que este ritmo puede dejar descolgados a algún alumno, se facilitará a todo el alumnado el horario en el que estoy en el centro en labores que no son de docencia directa, incluidos recreos, para que siempre que lo necesiten acudan a resolver dudas, así como las soluciones a los ejercicios que no puedan ser realizados en la pizarra.
Bloque III.- Análisis
Contenidos
Conceptos
Tema 9. Límites de funciones. Continuidad
9.1. Límite de una función en un punto. Funciones convergentes.
9.2. Límites laterales.
9.3. Propiedades de las funciones convergentes.
9.4. Límites infinitos cuando x tiende a un número real.
9.5. Límites finitos en el infinito.
9.6. Límites infinitos en el infinito.
9.7. Ramas infinitas y asíntotas de una función.
9.8. Operaciones con límites de funciones.
9.9. Cálculo de límites.
9.10. Funciones continuas. Continuidad en un punto y en un intervalo.
9.11. Continuidad lateral.
9.12. Discontinuidad de una función. Tipos.
9.13. Continuidad de las funciones elementales. Operaciones con funciones continuas.
9.14. Propiedades de las funciones continuas.
9.14.1. Teorema de la conservación del signo.
9.14.2. Teorema de la acotación en un punto.
9.14.3. Teorema de Bolzano.
9.14.4. Teorema de Darboux o de los valores intermedios.
9.14.5. Teorema de la acotación en un intervalo cerrado.
9.14.6. Teorema de Weierstrass.
Tema 10. Derivadas. Técnicas de derivación
10.1. Tasa de variación media e instantánea.
10.2. Derivada de una función en un punto.
10.3. Interpretación geométrica de la derivada.
10.4. Derivadas laterales.
10.5. Función derivada.
10.6. Derivadas sucesivas.
10.7. Operaciones con funciones derivadas.
10.8. Cálculo de derivadas.
10.9. Diferencial de una función.
Tema 11. Aplicaciones de las derivadas.
11.1. Recta tangente y normal a una curva en un punto.
11.2. Continuidad de las funciones derivables.
11.3. Crecimiento y decrecimiento de una función.
11.4. Extremos relativos.
11.4.1. Teorema de Rolle.
11.4.2. Teorema del Valor Medio.
11.4.3. Aplicaciones.
11.4.4. Teorema de Cauchy.
11.5. Determinación de extremos relativos.
11.6. Optimización de funciones.
11.7. Concavidad.
11.8. Puntos de inflexión.
11.9. Aplicaciones de las derivadas al cálculo de límites. Regla de L´Hopital.
Tema 12. Representación gráfica de funciones.
12.1. Dominio y recorrido de una función.
12.2. Puntos de corte con los ejes. Simetría. Periodicidad.
12.3. Asíntotas y ramas infinitas.
12.4. Monotonía. Extremos relativos. Concavidad. Puntos de inflexión.
12.5. Intervalos de signo constante. Regiones.
12.6. Representación de funciones.
Tema 13. Cálculo de primitivas
13.1. Primitiva de una función
13.2. La integral indefinida. Propiedades.
13.3. Métodos de integración.
13.3.1. Integrales inmediatas.
13.3.2. Integración por partes.
13.3.3. Integración de funciones racionales.
13.3.4. Integración por cambio de variable.
Tema 14. Integral definida. Aplicaciones.
14.1. Cálculo de áreas por el método exhaustivo.
14.2. Áreas de recintos planos.
14.3. Integral definida. Propiedades.
14.4. Teorema del valor medio.
14.5. Teorema fundamental del cálculo integral.
14.6. Regla de Barrow.
14.7. Área encerrada bajo una curva
14.8. Área encerrada por dos curvas.
14.9. Volumen de un cuerpo de revolución.
Procedimientos
1. Representación de intervalos y entornos en la recta real y estudio de su acotación.
2. Cálculo del dominio de funciones elementales.
3. Utilización de las gráficas de funciones dadas para realizar el estudio de sus características.
4. Estudio de las características de una función dada mediante su expresión analítica.
5. Saber encontrar la inversa de una función dada y aplicar las propiedades de la composición de funciones.
6. Interpretar gráficamente el límite de una función en un punto, los límites laterales de una función en un punto y el límite de una función en el infinito.
7. Encontrar las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de una función.
8. Calcular los límites utilizando las propiedades relativas a las operaciones con funciones convergentes y con funciones que tienden al infinito.
9. Utilizar con corrección los procedimientos que resuelven las indeterminaciones más usuales.
10. Utilización de la representación gráfica de las funciones en el estudio de la continuidad de las mismas.
11. Estudio de la continuidad de las funciones dadas analíticamente, mediante el cálculo de límites.
12. Clasificación de las discontinuidades que presenta una función dada por medio de su gráfica.
13. Uso de la continuidad de las funciones elementales y de las operaciones con funciones continuas en el estudio de la continuidad de las funciones dadas analíticamente.
14. Calcular la derivada de una función simple en un punto utilizando la definición.
15. Calcular la función derivada de cualquier función dada usando la tabla de derivadas.
16. Saber determinar las rectas tangente y normal a una curva en un punto dado.
17. Hacer uso de las derivadas laterales para el estudio de la derivabilidad.
18. Encontrar las derivadas sucesivas de una función dada en casos sencillos.
19. Utilizar la diferencial en casos sencillos.
20. Relacionar continuidad y derivabilidad.
21. Saber encontrar los intervalos de monotonía y concavidad de una función y analizar la monotonía en un punto.
22. Calcular los extremos relativos y puntos de inflexión de funciones derivables.
23. Resolver problemas de optimización.
24. Utilizar las derivadas para la resolución de las indeterminaciones que se presentan en el cálculo de límites.
25. Saber estudiar las características de una función dada.
26. Representar funciones a través de su expresión algebraica.
27. Interpretar las gráficas de las funciones.
28. Utilización de la tabla de integrales inmediatas en el cálculo de primitivas.
29. Cálculo de primitivas mediante técnicas elementales.
30. Cálculo de primitivas sujetas a condiciones dadas de antemano.
31. Utilización de los métodos de integración apropiados en el cálculo de primitivas.
32. Utilización del método exhaustivo en el cálculo de áreas.
33. Utilización del teorema del valor medio en la resolución de ejercicios sencillos.
34. Relación del cálculo diferencial y integral a partir del teorema fundamental del cálculo.
35. Calculo de integrales definidas mediante la Regla de Barrow.
36. Cálculo de áreas de recintos planos comprendidos entre funciones mediante la integral definida.
Actitudes
1. Valorar la utilidad de la equivalencia de la recta real y del conjunto de los números reales.
2. Sensibilidad y gusto por la precisión y el cuidado en la representación gráfica de las funciones y en el análisis de las mismas.
3. Gusto por la claridad y el rigor matemático en los procesos de resolución de actividades.
4. Reconocimiento de la gran utilidad del lenguaje funcional y gráfico como potente herramienta del análisis matemático.
5. Valorar la gran utilidad del cálculo de límites en la representación gráfica de funciones y en el cálculo de asíntotas.
6. Gusto por la precisión y rigor en los procesos que nos permiten calcular límites.
7. Valorar la utilidad de la regla de Ruffini y del número e en la resolución de algunos tipos de límites.
8. Apreciar el cálculo de límites en el estudio de la continuidad de una función.
9. Rigor y claridad en los procesos que nos permite estudiar la continuidad de funciones dadas.
10. Valorar la utilidad del límite en el cálculo de derivadas de una función en un punto y de funciones derivadas.
11. Apreciar la importancia que tiene la derivada en el cálculo de rectas tangentes y normales a una curva dada.
12. Reconocimiento de la importancia de los conceptos de derivada y de diferencial y de sus aplicaciones en otras ciencias.
13. Valorar la utilidad de las derivadas en los problemas reales de optimización.
14. Apreciar la utilidad de usar la derivada como herramienta para el cálculo de límites.
15. Reconocer el rigor de las demostraciones matemáticas y de la utilidad de generalizar dicho rigor a la vida cotidiana.
16. Sensibilidad y gusto por la elaboración y presentación cuidada de las gráficas.
17. Incorporación del lenguaje gráfico a la forma de tratar la información.
Objetivos mínimos.
1. Comprender los conceptos asociados al conjunto de números reales.
2. Manejar intervalos, entornos y conjuntos de R, estudiando en ellos su acotación.
3. Estudiar el dominio, recorrido, monotonía, extremos relativos, acotación, simetría y periodicidad de las funciones dadas mediante su representación gráfica.
4. saber componer funciones y encontrar la función inversa de una función dada.
5. Comprender el concepto de límite de una función en un punto y en el infinito.
6. Saber aplicar los conceptos de límite de una función en un punto y de límites laterales para estudiar las características de una función. (continuidad, asíntotas verticales, etc.)
7. Saber aplicar el concepto de límite de una función en el infinito para estudiar la existencia de asíntotas horizontales y oblicuas.
8. Comprender el concepto de función continua en un punto y en un intervalo.
9. Interpretar y clasificar las discontinuidades de una función dada mediante una gráfica o de forma analítica.
10. Estudiar la continuidad de funciones haciendo uso de la continuidad de las funciones elementales y de las operaciones con funciones continuas.
11. Valorar la gran utilidad que tiene la representación gráfica de una función en el estudio de la continuidad.
12. Conocer las propiedades algebraicas del cálculo de límites, los tipos de indeterminación existentes y las técnicas para resolverlas.
13. Saber determinar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de una función en un punto.
14. Comprender el concepto de derivada de una función en un punto, así como su significado geométrico.
15. Saber estudiar la derivabilidad de una función en un punto haciendo uso de las derivadas laterales.
16. Saber encontrar la función derivada de una función dada mediante la definición y mediante las técnicas de derivación.
17. Saber distinguir entre función derivada y derivada de una función en un punto.
18. Conocer y saber aplicar el teorema de derivación de funciones compuestas (la regla de la cadena) y su aplicación en el cálculo de las derivadas de funciones.
19. Conocer la relación existente entre continuidad y derivabilidad de una función en un punto.
20. Utilizar el concepto de derivada para el estudio de características de funciones (derivabilidad, crecimiento, decrecimiento, intervalos de monotonía, etc.)
21. Saber determinar la continuidad y derivabilidad de funciones definidas por trozos.
22. Conocer la regla de L´Hopital y saber aplicarla al cálculo de límites para resolver indeterminaciones.
23. Saber determinar si los puntos críticos de una función son extremos locales o puntos de inflexión.
24. Saber aplicar la teoría de funciones continuas y derivables para resolver problemas de optimización.
25. Saber representar de forma aproximada la gráfica de una función de la forma y=f(x) indicando dominio, simetrías, periodicidad, cortes con los ejes, continuidad, asíntotas, regiones de crecimiento y de decrecimiento, extremos locales, regiones de concavidad (f´´(x)<0) y convexidad y puntos de inflexión.
26. Partiendo de la representación gráfica de una función o de su derivada, ser capaz de obtener información sobre la propia función (límites, límites laterales, continuidad, asíntotas, derivabilidad, crecimiento y decrecimiento, etc.) y sobre la función derivada de la dada.
27. Comprender el concepto de primitiva de una función y su relación con la integral indefinida.
28. Dadas dos funciones, mediante sus expresiones analíticas o mediante sus representaciones gráficas, saber reconocer si una es primitiva de la otra.
29. Saber la relación existente entre dos primitivas de una misma función.
30. Dada una familia de primitivas, saber determinar una que pase por un punto dado.
31. Saber calcular primitivas de funciones dadas, ya sean inmediatas o mediante el uso de los métodos de integración por cambio de variable, por partes, o de funciones racionales.
32. Conocer el método de integración por partes y saber aplicarlo reiteradamente.
33. Conocer la técnica de integración por cambio de variable.
34. Conocer las propiedades de linealidad de la integral definida con respecto tanto al integrando como al intervalo de integración.
35. Conocer las propiedades de monotonía de la integral definida con respecto al integrando.
36. Conocer la interpretación geométrica de la integral definida de una función. (el área como límite de sumas superiores e inferiores)
37. Conocer la noción de función integral y saber el teorema fundamental del cálculo integral y la regla de Barrow.
38. Saber calcular el área de recintos planos limitados por curvas.
Criterios de evaluación
1. Conoce los conceptos asociados al conjunto de los números reales.
2. Maneja intervalos, entornos y subconjuntos de R, estudiando su acotación.
3. Estudia el dominio, recorrido, monotonía, extremos relativos, acotación, simetrías y periodicidad de las funciones dadas a partir de su gráfica o de su expresión analítica.
4. Dadas unas condiciones, representa gráficamente funciones.
5. Sabe componer funciones y encuentra la inversa de una función dada.
6. Sabe descomponer una función en funciones simples.
7. Define y comprende límite de una función en un punto y en el infinito.
8. Determina las ramas infinitas y las asíntotas de una función.
9. Interpreta los límites finitos e infinitos en la representación gráfica de funciones.
10. Calcula límites elementales y resuelve indeterminaciones.
11. Define y comprende el concepto de función continua en un punto.
12. A partir de una gráfica o de la forma analítica de una función, interpreta y clasifica las discontinuidades.
13. Estudia la continuidad de funciones dadas haciendo uso de la continuidad de las funciones elementales y de las operaciones con funciones continuas.
14. Comprende y define el concepto de derivada de una función en un punto, asi como sabe interpretar dicho concepto.
15. Sabe estudiar la derivabilidad de una función en un punto.
16. Halla la función derivada de una función dada.
17. Halla la ecuación de la recta tangente y normal a una función en un punto.
18. Utiliza las operaciones con funciones derivadas y las reglas de derivación en el cálculo de derivadas.
19. Determina los intervalos de crecimiento, concavidad, los máximos y mínimos de una función y los puntos de inflexión.
20. Sabe optimizar funciones que dependan de una sola variable, y resuelve problemas reales de optimización.
21. Dada la expresión analítica de una función, analiza sus características.
22. Representa funciones expresadas analíticamente.
23. Interpreta las gráficas de las funciones.
24. Relaciona la gráfica de una función con la gráfica de su derivada.
25. Define primitiva de una función y su relación con la integral indefinida.
26. Utiliza los métodos de integración para calcular primitivas de funciones dadas.
27. Calcula áreas de recintos limitados por una o varias curvas, a partir de la integral indefinida.
28. Explica los teoremas relativos al cálculo integral y su relación con el cálculo diferencial.
29. Aplica correctamente la regla de Barrow en el cálculo de primitivas y tiene en cuenta el “signo” en las áreas.
Conceptos
Tema 9. Límites de funciones. Continuidad
9.1. Límite de una función en un punto. Funciones convergentes.
9.2. Límites laterales.
9.3. Propiedades de las funciones convergentes.
9.4. Límites infinitos cuando x tiende a un número real.
9.5. Límites finitos en el infinito.
9.6. Límites infinitos en el infinito.
9.7. Ramas infinitas y asíntotas de una función.
9.8. Operaciones con límites de funciones.
9.9. Cálculo de límites.
9.10. Funciones continuas. Continuidad en un punto y en un intervalo.
9.11. Continuidad lateral.
9.12. Discontinuidad de una función. Tipos.
9.13. Continuidad de las funciones elementales. Operaciones con funciones continuas.
9.14. Propiedades de las funciones continuas.
9.14.1. Teorema de la conservación del signo.
9.14.2. Teorema de la acotación en un punto.
9.14.3. Teorema de Bolzano.
9.14.4. Teorema de Darboux o de los valores intermedios.
9.14.5. Teorema de la acotación en un intervalo cerrado.
9.14.6. Teorema de Weierstrass.
Tema 10. Derivadas. Técnicas de derivación
10.1. Tasa de variación media e instantánea.
10.2. Derivada de una función en un punto.
10.3. Interpretación geométrica de la derivada.
10.4. Derivadas laterales.
10.5. Función derivada.
10.6. Derivadas sucesivas.
10.7. Operaciones con funciones derivadas.
10.8. Cálculo de derivadas.
10.9. Diferencial de una función.
Tema 11. Aplicaciones de las derivadas.
11.1. Recta tangente y normal a una curva en un punto.
11.2. Continuidad de las funciones derivables.
11.3. Crecimiento y decrecimiento de una función.
11.4. Extremos relativos.
11.4.1. Teorema de Rolle.
11.4.2. Teorema del Valor Medio.
11.4.3. Aplicaciones.
11.4.4. Teorema de Cauchy.
11.5. Determinación de extremos relativos.
11.6. Optimización de funciones.
11.7. Concavidad.
11.8. Puntos de inflexión.
11.9. Aplicaciones de las derivadas al cálculo de límites. Regla de L´Hopital.
Tema 12. Representación gráfica de funciones.
12.1. Dominio y recorrido de una función.
12.2. Puntos de corte con los ejes. Simetría. Periodicidad.
12.3. Asíntotas y ramas infinitas.
12.4. Monotonía. Extremos relativos. Concavidad. Puntos de inflexión.
12.5. Intervalos de signo constante. Regiones.
12.6. Representación de funciones.
Tema 13. Cálculo de primitivas
13.1. Primitiva de una función
13.2. La integral indefinida. Propiedades.
13.3. Métodos de integración.
13.3.1. Integrales inmediatas.
13.3.2. Integración por partes.
13.3.3. Integración de funciones racionales.
13.3.4. Integración por cambio de variable.
Tema 14. Integral definida. Aplicaciones.
14.1. Cálculo de áreas por el método exhaustivo.
14.2. Áreas de recintos planos.
14.3. Integral definida. Propiedades.
14.4. Teorema del valor medio.
14.5. Teorema fundamental del cálculo integral.
14.6. Regla de Barrow.
14.7. Área encerrada bajo una curva
14.8. Área encerrada por dos curvas.
14.9. Volumen de un cuerpo de revolución.
Procedimientos
1. Representación de intervalos y entornos en la recta real y estudio de su acotación.
2. Cálculo del dominio de funciones elementales.
3. Utilización de las gráficas de funciones dadas para realizar el estudio de sus características.
4. Estudio de las características de una función dada mediante su expresión analítica.
5. Saber encontrar la inversa de una función dada y aplicar las propiedades de la composición de funciones.
6. Interpretar gráficamente el límite de una función en un punto, los límites laterales de una función en un punto y el límite de una función en el infinito.
7. Encontrar las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de una función.
8. Calcular los límites utilizando las propiedades relativas a las operaciones con funciones convergentes y con funciones que tienden al infinito.
9. Utilizar con corrección los procedimientos que resuelven las indeterminaciones más usuales.
10. Utilización de la representación gráfica de las funciones en el estudio de la continuidad de las mismas.
11. Estudio de la continuidad de las funciones dadas analíticamente, mediante el cálculo de límites.
12. Clasificación de las discontinuidades que presenta una función dada por medio de su gráfica.
13. Uso de la continuidad de las funciones elementales y de las operaciones con funciones continuas en el estudio de la continuidad de las funciones dadas analíticamente.
14. Calcular la derivada de una función simple en un punto utilizando la definición.
15. Calcular la función derivada de cualquier función dada usando la tabla de derivadas.
16. Saber determinar las rectas tangente y normal a una curva en un punto dado.
17. Hacer uso de las derivadas laterales para el estudio de la derivabilidad.
18. Encontrar las derivadas sucesivas de una función dada en casos sencillos.
19. Utilizar la diferencial en casos sencillos.
20. Relacionar continuidad y derivabilidad.
21. Saber encontrar los intervalos de monotonía y concavidad de una función y analizar la monotonía en un punto.
22. Calcular los extremos relativos y puntos de inflexión de funciones derivables.
23. Resolver problemas de optimización.
24. Utilizar las derivadas para la resolución de las indeterminaciones que se presentan en el cálculo de límites.
25. Saber estudiar las características de una función dada.
26. Representar funciones a través de su expresión algebraica.
27. Interpretar las gráficas de las funciones.
28. Utilización de la tabla de integrales inmediatas en el cálculo de primitivas.
29. Cálculo de primitivas mediante técnicas elementales.
30. Cálculo de primitivas sujetas a condiciones dadas de antemano.
31. Utilización de los métodos de integración apropiados en el cálculo de primitivas.
32. Utilización del método exhaustivo en el cálculo de áreas.
33. Utilización del teorema del valor medio en la resolución de ejercicios sencillos.
34. Relación del cálculo diferencial y integral a partir del teorema fundamental del cálculo.
35. Calculo de integrales definidas mediante la Regla de Barrow.
36. Cálculo de áreas de recintos planos comprendidos entre funciones mediante la integral definida.
Actitudes
1. Valorar la utilidad de la equivalencia de la recta real y del conjunto de los números reales.
2. Sensibilidad y gusto por la precisión y el cuidado en la representación gráfica de las funciones y en el análisis de las mismas.
3. Gusto por la claridad y el rigor matemático en los procesos de resolución de actividades.
4. Reconocimiento de la gran utilidad del lenguaje funcional y gráfico como potente herramienta del análisis matemático.
5. Valorar la gran utilidad del cálculo de límites en la representación gráfica de funciones y en el cálculo de asíntotas.
6. Gusto por la precisión y rigor en los procesos que nos permiten calcular límites.
7. Valorar la utilidad de la regla de Ruffini y del número e en la resolución de algunos tipos de límites.
8. Apreciar el cálculo de límites en el estudio de la continuidad de una función.
9. Rigor y claridad en los procesos que nos permite estudiar la continuidad de funciones dadas.
10. Valorar la utilidad del límite en el cálculo de derivadas de una función en un punto y de funciones derivadas.
11. Apreciar la importancia que tiene la derivada en el cálculo de rectas tangentes y normales a una curva dada.
12. Reconocimiento de la importancia de los conceptos de derivada y de diferencial y de sus aplicaciones en otras ciencias.
13. Valorar la utilidad de las derivadas en los problemas reales de optimización.
14. Apreciar la utilidad de usar la derivada como herramienta para el cálculo de límites.
15. Reconocer el rigor de las demostraciones matemáticas y de la utilidad de generalizar dicho rigor a la vida cotidiana.
16. Sensibilidad y gusto por la elaboración y presentación cuidada de las gráficas.
17. Incorporación del lenguaje gráfico a la forma de tratar la información.
Objetivos mínimos.
1. Comprender los conceptos asociados al conjunto de números reales.
2. Manejar intervalos, entornos y conjuntos de R, estudiando en ellos su acotación.
3. Estudiar el dominio, recorrido, monotonía, extremos relativos, acotación, simetría y periodicidad de las funciones dadas mediante su representación gráfica.
4. saber componer funciones y encontrar la función inversa de una función dada.
5. Comprender el concepto de límite de una función en un punto y en el infinito.
6. Saber aplicar los conceptos de límite de una función en un punto y de límites laterales para estudiar las características de una función. (continuidad, asíntotas verticales, etc.)
7. Saber aplicar el concepto de límite de una función en el infinito para estudiar la existencia de asíntotas horizontales y oblicuas.
8. Comprender el concepto de función continua en un punto y en un intervalo.
9. Interpretar y clasificar las discontinuidades de una función dada mediante una gráfica o de forma analítica.
10. Estudiar la continuidad de funciones haciendo uso de la continuidad de las funciones elementales y de las operaciones con funciones continuas.
11. Valorar la gran utilidad que tiene la representación gráfica de una función en el estudio de la continuidad.
12. Conocer las propiedades algebraicas del cálculo de límites, los tipos de indeterminación existentes y las técnicas para resolverlas.
13. Saber determinar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de una función en un punto.
14. Comprender el concepto de derivada de una función en un punto, así como su significado geométrico.
15. Saber estudiar la derivabilidad de una función en un punto haciendo uso de las derivadas laterales.
16. Saber encontrar la función derivada de una función dada mediante la definición y mediante las técnicas de derivación.
17. Saber distinguir entre función derivada y derivada de una función en un punto.
18. Conocer y saber aplicar el teorema de derivación de funciones compuestas (la regla de la cadena) y su aplicación en el cálculo de las derivadas de funciones.
19. Conocer la relación existente entre continuidad y derivabilidad de una función en un punto.
20. Utilizar el concepto de derivada para el estudio de características de funciones (derivabilidad, crecimiento, decrecimiento, intervalos de monotonía, etc.)
21. Saber determinar la continuidad y derivabilidad de funciones definidas por trozos.
22. Conocer la regla de L´Hopital y saber aplicarla al cálculo de límites para resolver indeterminaciones.
23. Saber determinar si los puntos críticos de una función son extremos locales o puntos de inflexión.
24. Saber aplicar la teoría de funciones continuas y derivables para resolver problemas de optimización.
25. Saber representar de forma aproximada la gráfica de una función de la forma y=f(x) indicando dominio, simetrías, periodicidad, cortes con los ejes, continuidad, asíntotas, regiones de crecimiento y de decrecimiento, extremos locales, regiones de concavidad (f´´(x)<0) y convexidad y puntos de inflexión.
26. Partiendo de la representación gráfica de una función o de su derivada, ser capaz de obtener información sobre la propia función (límites, límites laterales, continuidad, asíntotas, derivabilidad, crecimiento y decrecimiento, etc.) y sobre la función derivada de la dada.
27. Comprender el concepto de primitiva de una función y su relación con la integral indefinida.
28. Dadas dos funciones, mediante sus expresiones analíticas o mediante sus representaciones gráficas, saber reconocer si una es primitiva de la otra.
29. Saber la relación existente entre dos primitivas de una misma función.
30. Dada una familia de primitivas, saber determinar una que pase por un punto dado.
31. Saber calcular primitivas de funciones dadas, ya sean inmediatas o mediante el uso de los métodos de integración por cambio de variable, por partes, o de funciones racionales.
32. Conocer el método de integración por partes y saber aplicarlo reiteradamente.
33. Conocer la técnica de integración por cambio de variable.
34. Conocer las propiedades de linealidad de la integral definida con respecto tanto al integrando como al intervalo de integración.
35. Conocer las propiedades de monotonía de la integral definida con respecto al integrando.
36. Conocer la interpretación geométrica de la integral definida de una función. (el área como límite de sumas superiores e inferiores)
37. Conocer la noción de función integral y saber el teorema fundamental del cálculo integral y la regla de Barrow.
38. Saber calcular el área de recintos planos limitados por curvas.
Criterios de evaluación
1. Conoce los conceptos asociados al conjunto de los números reales.
2. Maneja intervalos, entornos y subconjuntos de R, estudiando su acotación.
3. Estudia el dominio, recorrido, monotonía, extremos relativos, acotación, simetrías y periodicidad de las funciones dadas a partir de su gráfica o de su expresión analítica.
4. Dadas unas condiciones, representa gráficamente funciones.
5. Sabe componer funciones y encuentra la inversa de una función dada.
6. Sabe descomponer una función en funciones simples.
7. Define y comprende límite de una función en un punto y en el infinito.
8. Determina las ramas infinitas y las asíntotas de una función.
9. Interpreta los límites finitos e infinitos en la representación gráfica de funciones.
10. Calcula límites elementales y resuelve indeterminaciones.
11. Define y comprende el concepto de función continua en un punto.
12. A partir de una gráfica o de la forma analítica de una función, interpreta y clasifica las discontinuidades.
13. Estudia la continuidad de funciones dadas haciendo uso de la continuidad de las funciones elementales y de las operaciones con funciones continuas.
14. Comprende y define el concepto de derivada de una función en un punto, asi como sabe interpretar dicho concepto.
15. Sabe estudiar la derivabilidad de una función en un punto.
16. Halla la función derivada de una función dada.
17. Halla la ecuación de la recta tangente y normal a una función en un punto.
18. Utiliza las operaciones con funciones derivadas y las reglas de derivación en el cálculo de derivadas.
19. Determina los intervalos de crecimiento, concavidad, los máximos y mínimos de una función y los puntos de inflexión.
20. Sabe optimizar funciones que dependan de una sola variable, y resuelve problemas reales de optimización.
21. Dada la expresión analítica de una función, analiza sus características.
22. Representa funciones expresadas analíticamente.
23. Interpreta las gráficas de las funciones.
24. Relaciona la gráfica de una función con la gráfica de su derivada.
25. Define primitiva de una función y su relación con la integral indefinida.
26. Utiliza los métodos de integración para calcular primitivas de funciones dadas.
27. Calcula áreas de recintos limitados por una o varias curvas, a partir de la integral indefinida.
28. Explica los teoremas relativos al cálculo integral y su relación con el cálculo diferencial.
29. Aplica correctamente la regla de Barrow en el cálculo de primitivas y tiene en cuenta el “signo” en las áreas.
Bloque II.- Geometría
Contenidos
Conceptos
Tema 13. Vectores en el espacio.
5.1. Vector libre.
5.2. Operaciones con vectores libres
5.2.1. Suma de vectores libres.
5.2.2. Producto de un escalar por un vector.
5.3. Dependencia de vectores.
5.3.1. Definición de dependencia e independencia lineal.
5.3.2. Sistema de generadores.
5.3.3. Base.
5.4. Producto escalar de dos vectores.
5.4.1. Definición.
5.4.2. Propiedades.
5.4.3. Interpretación geométrica.
5.4.4. Expresión analítica.
5.4.5. Consecuencias
5.4.5.1. Módulo de un vector
5.4.5.2. Desigualdad de Cauchy-Schwarz
5.4.5.3. Ángulo de dos vectores.
5.5. Producto vectorial de dos vectores.
5.5.1. Definición.
5.5.2. Propiedades.
5.5.3. Interpretación geométrica.
5.5.4. Expresión analítica.
5.6. Producto mixto de tres vectores.
5.6.1. Definición.
5.6.2. Propiedades.
5.6.3. Interpretación geométrica.
5.6.4. Expresión analítica.
Tema 6. Puntos, rectas y planos en el espacio.
6.1. Sistema de referencia.
6.2. Ecuaciones de la recta.
6.2.1. Ecuación vectorial.
6.2.2. Ecuaciones paramétricas.
6.2.3. Ecuación continua.
6.2.4. Ecuación implícita.
6.3. Ecuaciones del plano
6.3.1. Ecuación vectorial.
6.3.2. Ecuaciones paramétricas.
6.3.3. Ecuación implícita.
6.3.4. Ecuación normal.
6.4. Posiciones relativas de dos o tres planos.
6.5. Posiciones relativas de una recta y un plano.
6.6. Posiciones relativas de dos rectas.
Tema 14. Problemas métricos en el espacio
6.7. Ángulos entre elementos del espacio.
6.8. Proyecciones.
6.9. Distancias
6.10. Áreas de paralelogramos y triángulos.
6.11. Volúmenes de paralepípedos y tetraedros.
Procedimientos
1. Comprender los conceptos de vector libre, dependencia lineal, sistema generador y base.
2. Dado un conjunto de vectores, saber probar si son dependientes o independientes.
3. Calcular las coordenadas de otro vector respecto a una base.
4. Operar con vectores.
5. Conocer el producto escalar, vectorial y mixto de vectores, sus propiedades y sus interpretaciones geométricas.
6. Usar dichos productos para resolver problemas geométricos.
7. Conocer la relación entre álgebra lineal y geometría lineal, sabiendo pasar o reducir un problema geométrico en uno algebraico y viceversa.
8. Calcular las ecuaciones de una recta o un plano a partir de datos iniciales.
9. Saber pasar de unas ecuaciones a otras.
10. Elegir cual es la ecuación que más interesa para resolver un problema geométrico.
11. Resolver problemas de posiciones relativas entre rectas y planos.
12. Calcular la recta, el plano o el punto que verifica unas condiciones dadas.
13. Resolver razonadamente y a través de fórmulas problemas métricos en el espacio. (determinación de ángulos, proyecciones, simétricos, distancias, áreas y volúmenes.
14. Resolver problemas de lugares geométricos simples.
Actitudes
1. Aprecio por cualidades como armonía, regularidad, pauta, cadencias, orden, simplicidad, concisión, precisión, elegancia, etc. en las Matemáticas.
2. Curiosidad por investigar.
3. Tenacidad sistemática y pensamiento independiente a la hora de investigar.
4. Confianza en las propias capacidades para afrontar una actividad matemática y cooperar al trabajar con los demás.
5. Cuestionamiento de las apreciaciones intuitivas y ver la necesidad de verificación.
6. Visión crítica y mentalidad abierta para moverse en el mundo cambiante.
7. Valoración de los métodos gráficos para la investigación y el descubrimiento en geometría analítica
8. Tenacidad y constancia en la búsqueda de soluciones a los problemas geométricos
9. Claridad y sencillez en la descripción de procesos y en la expresión de resultados
10. Gusto e interés por enfrentarse con situaciones geométricas
11. Interés y respeto por las soluciones a problemas distintas de las propias
12. Confianza e interés en encontrar procedimientos y estrategias diferentes. Interés por buscarlos
Objetivos mínimos.
1. Conocer y adquirir destreza en las operaciones con vectores de R2 y R3.
2. Aplicar el cálculo vectorial a la resolución de problemas geométricos.
3. Dado un conjunto de vectores, saber determinar si son linealmente dependientes o linealmente independientes.
4. Interpretar geométricamente las cuestiones de dependencia en el plano y en el espacio.
5. Saber calcular e identificar las expresiones de una recta o de un plano mediante ecuaciones y pasar de una expresión a otra.
6. Saber determinar un punto, una recta o un plano a partir de propiedades que los definan.
7. Saber plantear, interpretar y resolver los problemas de incidencia y paralelismo entre rectas y planos en el plano y en el espacio.
8. Aplicar los conceptos de álgebra lineal a los problemas de incidencia y paralelismo entre elementos del espacio.
9. Conocer y saber aplicar la noción de haz de planos que contienen a una recta.
10. Conocer las propiedades del producto escalar, su interpretación geométrica y la desigualdad de Cauchy-Schwarz.
11. Saber plantear y resolver razonadamente y mediante fórmulas problemas métricos, angulares y de perpendicularidad.
12. Conocer el producto escalar de vectores y saberlo usar el cálculo de módulos y ángulos entre vectores.
13. Conocer el producto vectorial de vectores y saber aplicarlo para determinar un vector perpendicular a otros dos, y para calcular áreas de triángulos y paralelogramos.
14. Conocer el producto mixto de vectores y saber utilizarlo para calcular el volumen de un tetraedro y de un paralepípedo.
15. Analizar y sistematizar los conocimientos espaciales.
16. Conocer y determinar los lugares geométricos sencillos en el plano.
17. Reconocer algún lugar geométrico sencillo en el plano.
Criterios de evaluación
1. Conoce y utiliza el concepto de vector.
2. Aplica el cálculo vectorial a la resolución de problemas geométricos.
3. Interpreta geométricamente la dependencia vectorial en el plano y en el espacio.
4. Aplica los productos escalar, vectorial y mixto de vectores en el espacio.
5. Utiliza el producto escalar en el cálculo de módulos y ángulos entre vectores.
6. Identifica los elementos que determinan una recta y un plano en el espacio.
7. Conoce e interpreta las distintas formas que adoptan las ecuaciones de las rectas y los planos en el espacio.
8. Resuelve problemas de incidencia y paralelismo entre puntos, rectas y planos en el espacio.
9. Aplica los conceptos de álgebra lineal a los problemas de incidencia y paralelismo entre elementos del espacio.
10. Determina las ecuaciones de rectas y planos a partir de condiciones métricas dadas.
11. Calcula los ángulos entre rectas y planos en el espacio.
12. Resuelve problemas sencillos de distancias entre elementos del espacio.
13. Aplica los productos escalar, vectorial y mixto de vectores a problemas métricos en el espacio.
14. Analiza y sistematiza los conocimientos espaciales.
15. Usa la notación matemática apropiadamente y aprecia su utilidad.
16. Resuelve problemas geométricos asociados a los lugares geométricos.
17. Reconoce lugares geométricos sencillos en el plano.
Conceptos
Tema 13. Vectores en el espacio.
5.1. Vector libre.
5.2. Operaciones con vectores libres
5.2.1. Suma de vectores libres.
5.2.2. Producto de un escalar por un vector.
5.3. Dependencia de vectores.
5.3.1. Definición de dependencia e independencia lineal.
5.3.2. Sistema de generadores.
5.3.3. Base.
5.4. Producto escalar de dos vectores.
5.4.1. Definición.
5.4.2. Propiedades.
5.4.3. Interpretación geométrica.
5.4.4. Expresión analítica.
5.4.5. Consecuencias
5.4.5.1. Módulo de un vector
5.4.5.2. Desigualdad de Cauchy-Schwarz
5.4.5.3. Ángulo de dos vectores.
5.5. Producto vectorial de dos vectores.
5.5.1. Definición.
5.5.2. Propiedades.
5.5.3. Interpretación geométrica.
5.5.4. Expresión analítica.
5.6. Producto mixto de tres vectores.
5.6.1. Definición.
5.6.2. Propiedades.
5.6.3. Interpretación geométrica.
5.6.4. Expresión analítica.
Tema 6. Puntos, rectas y planos en el espacio.
6.1. Sistema de referencia.
6.2. Ecuaciones de la recta.
6.2.1. Ecuación vectorial.
6.2.2. Ecuaciones paramétricas.
6.2.3. Ecuación continua.
6.2.4. Ecuación implícita.
6.3. Ecuaciones del plano
6.3.1. Ecuación vectorial.
6.3.2. Ecuaciones paramétricas.
6.3.3. Ecuación implícita.
6.3.4. Ecuación normal.
6.4. Posiciones relativas de dos o tres planos.
6.5. Posiciones relativas de una recta y un plano.
6.6. Posiciones relativas de dos rectas.
Tema 14. Problemas métricos en el espacio
6.7. Ángulos entre elementos del espacio.
6.8. Proyecciones.
6.9. Distancias
6.10. Áreas de paralelogramos y triángulos.
6.11. Volúmenes de paralepípedos y tetraedros.
Procedimientos
1. Comprender los conceptos de vector libre, dependencia lineal, sistema generador y base.
2. Dado un conjunto de vectores, saber probar si son dependientes o independientes.
3. Calcular las coordenadas de otro vector respecto a una base.
4. Operar con vectores.
5. Conocer el producto escalar, vectorial y mixto de vectores, sus propiedades y sus interpretaciones geométricas.
6. Usar dichos productos para resolver problemas geométricos.
7. Conocer la relación entre álgebra lineal y geometría lineal, sabiendo pasar o reducir un problema geométrico en uno algebraico y viceversa.
8. Calcular las ecuaciones de una recta o un plano a partir de datos iniciales.
9. Saber pasar de unas ecuaciones a otras.
10. Elegir cual es la ecuación que más interesa para resolver un problema geométrico.
11. Resolver problemas de posiciones relativas entre rectas y planos.
12. Calcular la recta, el plano o el punto que verifica unas condiciones dadas.
13. Resolver razonadamente y a través de fórmulas problemas métricos en el espacio. (determinación de ángulos, proyecciones, simétricos, distancias, áreas y volúmenes.
14. Resolver problemas de lugares geométricos simples.
Actitudes
1. Aprecio por cualidades como armonía, regularidad, pauta, cadencias, orden, simplicidad, concisión, precisión, elegancia, etc. en las Matemáticas.
2. Curiosidad por investigar.
3. Tenacidad sistemática y pensamiento independiente a la hora de investigar.
4. Confianza en las propias capacidades para afrontar una actividad matemática y cooperar al trabajar con los demás.
5. Cuestionamiento de las apreciaciones intuitivas y ver la necesidad de verificación.
6. Visión crítica y mentalidad abierta para moverse en el mundo cambiante.
7. Valoración de los métodos gráficos para la investigación y el descubrimiento en geometría analítica
8. Tenacidad y constancia en la búsqueda de soluciones a los problemas geométricos
9. Claridad y sencillez en la descripción de procesos y en la expresión de resultados
10. Gusto e interés por enfrentarse con situaciones geométricas
11. Interés y respeto por las soluciones a problemas distintas de las propias
12. Confianza e interés en encontrar procedimientos y estrategias diferentes. Interés por buscarlos
Objetivos mínimos.
1. Conocer y adquirir destreza en las operaciones con vectores de R2 y R3.
2. Aplicar el cálculo vectorial a la resolución de problemas geométricos.
3. Dado un conjunto de vectores, saber determinar si son linealmente dependientes o linealmente independientes.
4. Interpretar geométricamente las cuestiones de dependencia en el plano y en el espacio.
5. Saber calcular e identificar las expresiones de una recta o de un plano mediante ecuaciones y pasar de una expresión a otra.
6. Saber determinar un punto, una recta o un plano a partir de propiedades que los definan.
7. Saber plantear, interpretar y resolver los problemas de incidencia y paralelismo entre rectas y planos en el plano y en el espacio.
8. Aplicar los conceptos de álgebra lineal a los problemas de incidencia y paralelismo entre elementos del espacio.
9. Conocer y saber aplicar la noción de haz de planos que contienen a una recta.
10. Conocer las propiedades del producto escalar, su interpretación geométrica y la desigualdad de Cauchy-Schwarz.
11. Saber plantear y resolver razonadamente y mediante fórmulas problemas métricos, angulares y de perpendicularidad.
12. Conocer el producto escalar de vectores y saberlo usar el cálculo de módulos y ángulos entre vectores.
13. Conocer el producto vectorial de vectores y saber aplicarlo para determinar un vector perpendicular a otros dos, y para calcular áreas de triángulos y paralelogramos.
14. Conocer el producto mixto de vectores y saber utilizarlo para calcular el volumen de un tetraedro y de un paralepípedo.
15. Analizar y sistematizar los conocimientos espaciales.
16. Conocer y determinar los lugares geométricos sencillos en el plano.
17. Reconocer algún lugar geométrico sencillo en el plano.
Criterios de evaluación
1. Conoce y utiliza el concepto de vector.
2. Aplica el cálculo vectorial a la resolución de problemas geométricos.
3. Interpreta geométricamente la dependencia vectorial en el plano y en el espacio.
4. Aplica los productos escalar, vectorial y mixto de vectores en el espacio.
5. Utiliza el producto escalar en el cálculo de módulos y ángulos entre vectores.
6. Identifica los elementos que determinan una recta y un plano en el espacio.
7. Conoce e interpreta las distintas formas que adoptan las ecuaciones de las rectas y los planos en el espacio.
8. Resuelve problemas de incidencia y paralelismo entre puntos, rectas y planos en el espacio.
9. Aplica los conceptos de álgebra lineal a los problemas de incidencia y paralelismo entre elementos del espacio.
10. Determina las ecuaciones de rectas y planos a partir de condiciones métricas dadas.
11. Calcula los ángulos entre rectas y planos en el espacio.
12. Resuelve problemas sencillos de distancias entre elementos del espacio.
13. Aplica los productos escalar, vectorial y mixto de vectores a problemas métricos en el espacio.
14. Analiza y sistematiza los conocimientos espaciales.
15. Usa la notación matemática apropiadamente y aprecia su utilidad.
16. Resuelve problemas geométricos asociados a los lugares geométricos.
17. Reconoce lugares geométricos sencillos en el plano.
Bloque I.- Álgebra Lineal
Contenidos
Conceptos
Tema 1. Sistemas de ecuaciones lineales.
1.1. Introducción histórica.
1.2. Sistemas de ecuaciones lineales.
1.2.1. Definiciones.
1.2.2. Sistemas equivalentes.
1.3. Resolución de sistemas.
1.3.1. Método de Gauss.
1.3.2. Método de Gauss-Jordan.
1.3.3. Discusión de sistemas.
1.3.3.1. Sistemas sin parámetros.
1.3.3.2. Sistemas con un parámetro.
Tema 2. Álgebra de matrices.
2.1. Introducción histórica.
2.2. Matrices.
2.2.1. Definiciones.
2.2.2. Tipos de matrices.
2.2.3. Notación matricial.
2.3. Notación matricial de un sistema de ecuaciones lineales.
2.4. Operaciones con matrices.
2.4.1. Suma de matrices.
2.4.1.1. Definición.
2.4.1.2. Propiedades.
2.4.2. Multiplicación de un escalar por una matriz.
2.4.2.1. Definición.
2.4.2.2. Propiedades.
2.4.3. Multiplicación de matrices.
2.4.3.1. Definición.
2.4.3.2. Propiedades.
2.4.4. Trasposición.
2.4.4.1. Definición.
2.4.4.2. Propiedades.
2.4.4.3. Matrices simétricas y hemisimétricas.
2.5. Matriz inversa
2.5.1. Definición.
2.5.2. Cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss-Jordan.
2.5.3. Solución matricial de un sistema de ecuaciones.
Tema 3. Determinantes.
3.1. Introducción histórica.
3.2. Determinantes de orden 2 y 3.
3.2.1. Definiciones.
3.2.2. Propiedades.
3.3. Determinantes de orden n
3.3.1. Definición.
3.4. Cálculo de determinantes.
3.4.1. Cálculo de determinantes de orden 3 por Sarrus, utilizando propiedades, por desarrollos y por Gauss.
3.4.2. Cálculo de determinantes de orden n por desarrollos, por propiedades o por Gauss.
3.5. Fórmulas de Cramer para sistemas de n ecuaciones con n incógnitas compatibles determinados.
3.6. Cálculo de la matriz inversa aplicando determinantes.
3.7. Rango de una matriz.
3.7.1. Cálculo del rango aplicando determinantes.
Tema 4. Resolución de sistemas mediante determinantes
4.1. Teorema de Rouche-Frobenius
4.2. Discusión de sistemas mediante determinantes.
4.3. Forma matricial de un sistema de ecuaciones.
Procedimientos
1. Utilización de expresiones algebraicas como recurso del lenguaje matemático.
2. Desarrollar las destrezas suficientes para comprender y utilizar los desarrollos teóricos.
3. Inferir leyes, propiedades y relaciones.
4. Justificar propiedades.
5. Distinguir entre prueba y demostración.
6. Realizar razonamientos deductivos: por inducción, por reducción al absurdo, búsqueda de contraejemplos.
7. Descubrir falacias en los razonamientos, argumentos defectuosos, incoherencias, contradicciones, mal uso de la analogía, etc.
8. Utilizar los criterios de equivalencia de sistemas de ecuaciones lineales para reducirlos a sistemas más simples.
9. Discutir sistemas de ecuaciones, como máximo de tres incógnitas, por el método de Gauss.
10. Resolver sistemas de ecuaciones compatibles por Gauss, ya sean determinados o indeterminados.
11. Discutir y resolver en los casos en que fuesen posible sistemas de ecuaciones lineales con un parámetro.
12. Resolver problemas susceptibles de ser manejados con sistemas de ecuaciones.
13. Identificar los tipos de matrices más habituales.
14. Operar con matrices: sumar, multiplicar por un escalar, multiplicar matrices y trasponer
15. Conocer y usar las propiedades de las operaciones con matrices y las propiedades que no cumplen.
16. Comprobar que una matriz dada es la inversa de otra.
17. Conocer y saber usar las propiedades de la inversa.
18. Calcular la matriz inversa de otra por el método de Gauss-Jordan, y distinguir aquellas matrices que poseen inversa de las que no la tienen
19. Resolución de ecuaciones matriciales
20. Calcular la matriz inversa de una matriz con un parámetro.
21. Resolver sistemas lineales por el método de la inversa cuando fuese posible.
22. Calcular potencias de matrices.
23. Buscar regularidades en las potencias de determinadas matrices, elaborar conjeturas sobre el término general de la potencia n-ésima de dichas matrices y demostrarlas por el principio de inducción.
24. Calcular determinantes de orden dos por definición y aplicando las propiedades.
25. Calcular determinantes de orden 3 por la regla de Sarrus, aplicando propiedades o desarrollando por una fila o columna.
26. Conocer la definición de determinantes de orden n y calcularlos desarrollando por filas o columnas, antes o después de haber hecho ceros.
27. Aplicar la teoría de determinantes al cálculo de la matriz inversa de una matriz dada.
28. Discutir un sistema de ecuaciones lineales, sin o con un parámetro, utilizando el teorema de Rouché-Fröbenius.
29. Resolverlo utilizando la regla de Cramer o usando el método de la matriz inversa.
30. Comprender los conceptos vectoriales de dependencia e independencia lineal.
31. Saber calcular rangos de matrices.
Actitudes
Las actitudes que debo intentar que el alumno o la alumna asuman como propias, no se restringen al ámbito matemático: confianza en uno mismo, utilización correcta de todas las herramientas a su alcance, curiosidad por conocer, claridad y sencillez en la descripción de hechos y procesos...
Por supuesto que todos los contenidos actitudinales de la siguiente lista están sometidos al necesario maquillaje matemático, pero la consecución de gran parte de ellos hará que los estudiantes puedan, con la ayuda de su profesor, crecer como personas.
1. Aprecio por cualidades como armonía, regularidad, pauta, cadencias, orden, simplicidad, concisión, precisión, elegancia, etc. en las Matemáticas.
2. Curiosidad por investigar.
3. Tenacidad sistemática y pensamiento independiente a la hora de investigar.
4. Confianza en las propias capacidades para afrontar una actividad matemática y cooperar al trabajar con los demás.
5. Cuestionamiento de las apreciaciones intuitivas y ver la necesidad de verificación.
6. Visión crítica y mentalidad abierta para moverse en el mundo cambiante.
7. Curiosidad e interés por la resolución de problemas algebraicos
8. Perseverancia y flexibilidad en la búsqueda de soluciones a los problemas algebraicos
9. Interés y respeto por las estrategias, modos de hacer y soluciones a los problemas algebraicos distintos de los propios
10. Aprecio de la potencia y abstracción del simbolismo que supone el álgebra
11. Valoración del lenguaje algebraico para expresar relaciones, así como por su facilidad para representar y resolver problemas
12. Adquisición de confianza en la resolución de sistemas de ecuaciones
13. Valoración de la capacidad de los métodos algebraicos para representar situaciones complejas y resolver problemas
14. Sensibilidad y gusto por la presentación ordenada y clara del proceso seguido, expresando lo que se hace y por qué se hace, y de los resultados en cálculos de problemas algebraicos
Objetivos mínimos
1. Interpretar un cuadro o tabla de números como una matriz, identificando elementos concretos de la misma.
2. Identificar y formular los tipos de matrices más usuales.
3. Conocer y adquirir destreza en las operaciones con matrices: suma, producto por un escalar, producto de matrices, trasposición y saber cuándo pueden realizarse y cuando no. Conocer la no conmutatividad del producto.
4. Conocer la matriz identidad (elemento neutro para la multiplicación) y la definición de matriz inversa. Saber cuando una matriz tiene inversa y, en su caso, calcularla (hasta matrices 3x3)
5. Saber calcular rangos de matrices, ya sea por Gauss como por determinantes.
6. Interpretar un determinante como un número asociado a una matriz cuadrada.
7. Saber calcular determinantes de orden 2 y 3, utilizando los distintos métodos: regla de Sarrus (3x3), adjuntos, método de Gauss.
8. Conocer las propiedades de los determinantes y saber aplicarlas al cálculo de éstos.
9. Saber interpretar un determinante.
10. Calcular la matriz inversa de una dada mediante el uso de determinantes.
11. Conocer que tres vectores de R3 son linealmente dependientes si, y sólo si, su determinante es cero.
12. Transcribir situaciones como sistemas de ecuaciones y resolverlas, cuando sea posible.
13. Saber expresar un sistema de ecuaciones en forma matricial y conocer el concepto de matriz ampliada del mismo.
14. Conocer lo que son sistemas compatibles, determinados e indeterminados, e incompatibles.
15. Saber discutir un sistema de ecuaciones lineales con no más de tres incógnitas y que dependa, como mucho, de un parámetro y, en su caso, resolverlo por todos los métodos posibles.
16. Aplicar el teorema de Rouché-Fröbenius al estudio de sistemas de ecuaciones lineales.
Criterios de evaluación
1. Interpreta una matriz, identificando elementos concretos de la misma.
2. Identifica y formula los tipos de matrices más usuales.
3. Opera correctamente con matrices.
4. Calcula el rango de una matriz por el método de Gauss o usando determinantes.
5. Calcula la matriz inversa de una dada usando procedimientos elementales, o mediante determinantes
6. Interpreta un determinante.
7. Desarrolla un determinante usando los métodos de Gauss, de los adjuntos o la regla de Sarrus (3x3)
8. Resuelve determinantes mediante las propiedades de los mismos.
9. Transcribe situaciones reales como sistemas de ecuaciones lineales y las resuelve.
10. Discute sistemas de ecuaciones lineales usando el teorema de rouché Frobenius
11. Conoce y utiliza los distintos métodos de resolución de sistemas :Gauss, regla de Cramer, matricial.
12. Resuelve sistemas de ecuaciones lineales dependientes de un parámetro.
13. Aplica los sistemas de ecuaciones en casos sencillos de eliminación de parámetros.
14. Usa la notación matemática con corrección y aprecia su utilidad.
Temas transversales
Debido a la actual situación política mundial, con una guerra en marcha contra el terrorismo y con una más que probable actitud de odio y rechazo a la cultura musulmana, aprovecharemos este bloque para dar a conocer al alumnado las aportaciones que dicha cultura realizó en el desarrollo de nuestro sistema de numeración y del álgebra, intentando en todo momento que nuestros alumnos sepan valorar lo bueno de dicha cultura y que sepan que generalizar y definir a todo musulmán como un posible terrorista es, como poco, una actitud arrogante y racista que no hace justicia a todo un pueblo que históricamente ha sido conocido por todo lo contrario.
Conceptos
Tema 1. Sistemas de ecuaciones lineales.
1.1. Introducción histórica.
1.2. Sistemas de ecuaciones lineales.
1.2.1. Definiciones.
1.2.2. Sistemas equivalentes.
1.3. Resolución de sistemas.
1.3.1. Método de Gauss.
1.3.2. Método de Gauss-Jordan.
1.3.3. Discusión de sistemas.
1.3.3.1. Sistemas sin parámetros.
1.3.3.2. Sistemas con un parámetro.
Tema 2. Álgebra de matrices.
2.1. Introducción histórica.
2.2. Matrices.
2.2.1. Definiciones.
2.2.2. Tipos de matrices.
2.2.3. Notación matricial.
2.3. Notación matricial de un sistema de ecuaciones lineales.
2.4. Operaciones con matrices.
2.4.1. Suma de matrices.
2.4.1.1. Definición.
2.4.1.2. Propiedades.
2.4.2. Multiplicación de un escalar por una matriz.
2.4.2.1. Definición.
2.4.2.2. Propiedades.
2.4.3. Multiplicación de matrices.
2.4.3.1. Definición.
2.4.3.2. Propiedades.
2.4.4. Trasposición.
2.4.4.1. Definición.
2.4.4.2. Propiedades.
2.4.4.3. Matrices simétricas y hemisimétricas.
2.5. Matriz inversa
2.5.1. Definición.
2.5.2. Cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss-Jordan.
2.5.3. Solución matricial de un sistema de ecuaciones.
Tema 3. Determinantes.
3.1. Introducción histórica.
3.2. Determinantes de orden 2 y 3.
3.2.1. Definiciones.
3.2.2. Propiedades.
3.3. Determinantes de orden n
3.3.1. Definición.
3.4. Cálculo de determinantes.
3.4.1. Cálculo de determinantes de orden 3 por Sarrus, utilizando propiedades, por desarrollos y por Gauss.
3.4.2. Cálculo de determinantes de orden n por desarrollos, por propiedades o por Gauss.
3.5. Fórmulas de Cramer para sistemas de n ecuaciones con n incógnitas compatibles determinados.
3.6. Cálculo de la matriz inversa aplicando determinantes.
3.7. Rango de una matriz.
3.7.1. Cálculo del rango aplicando determinantes.
Tema 4. Resolución de sistemas mediante determinantes
4.1. Teorema de Rouche-Frobenius
4.2. Discusión de sistemas mediante determinantes.
4.3. Forma matricial de un sistema de ecuaciones.
Procedimientos
1. Utilización de expresiones algebraicas como recurso del lenguaje matemático.
2. Desarrollar las destrezas suficientes para comprender y utilizar los desarrollos teóricos.
3. Inferir leyes, propiedades y relaciones.
4. Justificar propiedades.
5. Distinguir entre prueba y demostración.
6. Realizar razonamientos deductivos: por inducción, por reducción al absurdo, búsqueda de contraejemplos.
7. Descubrir falacias en los razonamientos, argumentos defectuosos, incoherencias, contradicciones, mal uso de la analogía, etc.
8. Utilizar los criterios de equivalencia de sistemas de ecuaciones lineales para reducirlos a sistemas más simples.
9. Discutir sistemas de ecuaciones, como máximo de tres incógnitas, por el método de Gauss.
10. Resolver sistemas de ecuaciones compatibles por Gauss, ya sean determinados o indeterminados.
11. Discutir y resolver en los casos en que fuesen posible sistemas de ecuaciones lineales con un parámetro.
12. Resolver problemas susceptibles de ser manejados con sistemas de ecuaciones.
13. Identificar los tipos de matrices más habituales.
14. Operar con matrices: sumar, multiplicar por un escalar, multiplicar matrices y trasponer
15. Conocer y usar las propiedades de las operaciones con matrices y las propiedades que no cumplen.
16. Comprobar que una matriz dada es la inversa de otra.
17. Conocer y saber usar las propiedades de la inversa.
18. Calcular la matriz inversa de otra por el método de Gauss-Jordan, y distinguir aquellas matrices que poseen inversa de las que no la tienen
19. Resolución de ecuaciones matriciales
20. Calcular la matriz inversa de una matriz con un parámetro.
21. Resolver sistemas lineales por el método de la inversa cuando fuese posible.
22. Calcular potencias de matrices.
23. Buscar regularidades en las potencias de determinadas matrices, elaborar conjeturas sobre el término general de la potencia n-ésima de dichas matrices y demostrarlas por el principio de inducción.
24. Calcular determinantes de orden dos por definición y aplicando las propiedades.
25. Calcular determinantes de orden 3 por la regla de Sarrus, aplicando propiedades o desarrollando por una fila o columna.
26. Conocer la definición de determinantes de orden n y calcularlos desarrollando por filas o columnas, antes o después de haber hecho ceros.
27. Aplicar la teoría de determinantes al cálculo de la matriz inversa de una matriz dada.
28. Discutir un sistema de ecuaciones lineales, sin o con un parámetro, utilizando el teorema de Rouché-Fröbenius.
29. Resolverlo utilizando la regla de Cramer o usando el método de la matriz inversa.
30. Comprender los conceptos vectoriales de dependencia e independencia lineal.
31. Saber calcular rangos de matrices.
Actitudes
Las actitudes que debo intentar que el alumno o la alumna asuman como propias, no se restringen al ámbito matemático: confianza en uno mismo, utilización correcta de todas las herramientas a su alcance, curiosidad por conocer, claridad y sencillez en la descripción de hechos y procesos...
Por supuesto que todos los contenidos actitudinales de la siguiente lista están sometidos al necesario maquillaje matemático, pero la consecución de gran parte de ellos hará que los estudiantes puedan, con la ayuda de su profesor, crecer como personas.
1. Aprecio por cualidades como armonía, regularidad, pauta, cadencias, orden, simplicidad, concisión, precisión, elegancia, etc. en las Matemáticas.
2. Curiosidad por investigar.
3. Tenacidad sistemática y pensamiento independiente a la hora de investigar.
4. Confianza en las propias capacidades para afrontar una actividad matemática y cooperar al trabajar con los demás.
5. Cuestionamiento de las apreciaciones intuitivas y ver la necesidad de verificación.
6. Visión crítica y mentalidad abierta para moverse en el mundo cambiante.
7. Curiosidad e interés por la resolución de problemas algebraicos
8. Perseverancia y flexibilidad en la búsqueda de soluciones a los problemas algebraicos
9. Interés y respeto por las estrategias, modos de hacer y soluciones a los problemas algebraicos distintos de los propios
10. Aprecio de la potencia y abstracción del simbolismo que supone el álgebra
11. Valoración del lenguaje algebraico para expresar relaciones, así como por su facilidad para representar y resolver problemas
12. Adquisición de confianza en la resolución de sistemas de ecuaciones
13. Valoración de la capacidad de los métodos algebraicos para representar situaciones complejas y resolver problemas
14. Sensibilidad y gusto por la presentación ordenada y clara del proceso seguido, expresando lo que se hace y por qué se hace, y de los resultados en cálculos de problemas algebraicos
Objetivos mínimos
1. Interpretar un cuadro o tabla de números como una matriz, identificando elementos concretos de la misma.
2. Identificar y formular los tipos de matrices más usuales.
3. Conocer y adquirir destreza en las operaciones con matrices: suma, producto por un escalar, producto de matrices, trasposición y saber cuándo pueden realizarse y cuando no. Conocer la no conmutatividad del producto.
4. Conocer la matriz identidad (elemento neutro para la multiplicación) y la definición de matriz inversa. Saber cuando una matriz tiene inversa y, en su caso, calcularla (hasta matrices 3x3)
5. Saber calcular rangos de matrices, ya sea por Gauss como por determinantes.
6. Interpretar un determinante como un número asociado a una matriz cuadrada.
7. Saber calcular determinantes de orden 2 y 3, utilizando los distintos métodos: regla de Sarrus (3x3), adjuntos, método de Gauss.
8. Conocer las propiedades de los determinantes y saber aplicarlas al cálculo de éstos.
9. Saber interpretar un determinante.
10. Calcular la matriz inversa de una dada mediante el uso de determinantes.
11. Conocer que tres vectores de R3 son linealmente dependientes si, y sólo si, su determinante es cero.
12. Transcribir situaciones como sistemas de ecuaciones y resolverlas, cuando sea posible.
13. Saber expresar un sistema de ecuaciones en forma matricial y conocer el concepto de matriz ampliada del mismo.
14. Conocer lo que son sistemas compatibles, determinados e indeterminados, e incompatibles.
15. Saber discutir un sistema de ecuaciones lineales con no más de tres incógnitas y que dependa, como mucho, de un parámetro y, en su caso, resolverlo por todos los métodos posibles.
16. Aplicar el teorema de Rouché-Fröbenius al estudio de sistemas de ecuaciones lineales.
Criterios de evaluación
1. Interpreta una matriz, identificando elementos concretos de la misma.
2. Identifica y formula los tipos de matrices más usuales.
3. Opera correctamente con matrices.
4. Calcula el rango de una matriz por el método de Gauss o usando determinantes.
5. Calcula la matriz inversa de una dada usando procedimientos elementales, o mediante determinantes
6. Interpreta un determinante.
7. Desarrolla un determinante usando los métodos de Gauss, de los adjuntos o la regla de Sarrus (3x3)
8. Resuelve determinantes mediante las propiedades de los mismos.
9. Transcribe situaciones reales como sistemas de ecuaciones lineales y las resuelve.
10. Discute sistemas de ecuaciones lineales usando el teorema de rouché Frobenius
11. Conoce y utiliza los distintos métodos de resolución de sistemas :Gauss, regla de Cramer, matricial.
12. Resuelve sistemas de ecuaciones lineales dependientes de un parámetro.
13. Aplica los sistemas de ecuaciones en casos sencillos de eliminación de parámetros.
14. Usa la notación matemática con corrección y aprecia su utilidad.
Temas transversales
Debido a la actual situación política mundial, con una guerra en marcha contra el terrorismo y con una más que probable actitud de odio y rechazo a la cultura musulmana, aprovecharemos este bloque para dar a conocer al alumnado las aportaciones que dicha cultura realizó en el desarrollo de nuestro sistema de numeración y del álgebra, intentando en todo momento que nuestros alumnos sepan valorar lo bueno de dicha cultura y que sepan que generalizar y definir a todo musulmán como un posible terrorista es, como poco, una actitud arrogante y racista que no hace justicia a todo un pueblo que históricamente ha sido conocido por todo lo contrario.
Organización de la asignatura
La asignatura de Matemáticas II se dividirá en cuatro bloques principales, cada uno de los cuales se subdividirá en temas tal y como se especifica a continuación:
1. Bloque II.- ÁLGEBRA LINEAL
1.1. Tema 1.- Sistemas de ecuaciones lineales.
1.2. Tema 2.- Álgebra de matrices.
1.3. Tema 3.- Determinantes.
1.4. Tema 4.- Resolución de sistemas mediante determinantes.
2. Bloque III.- GEOMETRÍA
2.1. Tema 5.- Vectores en el espacio.
2.2. Tema 6.- Puntos, rectas y planos en el espacio.
2.3. Tema 7.- Problemas métricos en el espacio.
3. Bloque I.- ANÁLISIS
3.1. Tema 8.- Límites de funciones. Continuidad
3.2. Tema 9.- Derivadas. Técnicas de derivación.
3.3. Tema 10.- Aplicaciones de las derivadas.
3.4. Tema 11.- Representación de funciones.
3.5. Tema 12.- Calculo de primitivas.
3.6. Tema 13.- La integral definida. Aplicaciones.
1. Bloque II.- ÁLGEBRA LINEAL
1.1. Tema 1.- Sistemas de ecuaciones lineales.
1.2. Tema 2.- Álgebra de matrices.
1.3. Tema 3.- Determinantes.
1.4. Tema 4.- Resolución de sistemas mediante determinantes.
2. Bloque III.- GEOMETRÍA
2.1. Tema 5.- Vectores en el espacio.
2.2. Tema 6.- Puntos, rectas y planos en el espacio.
2.3. Tema 7.- Problemas métricos en el espacio.
3. Bloque I.- ANÁLISIS
3.1. Tema 8.- Límites de funciones. Continuidad
3.2. Tema 9.- Derivadas. Técnicas de derivación.
3.3. Tema 10.- Aplicaciones de las derivadas.
3.4. Tema 11.- Representación de funciones.
3.5. Tema 12.- Calculo de primitivas.
3.6. Tema 13.- La integral definida. Aplicaciones.
Objetivos de la asignatura
En la etapa obligatoria de la enseñanza secundaria, se ha hecho un estudio de las Matemáticas que podríamos llamar “poco formal”. Es ahora cuando se acerca el fin de la enseñanza secundaria, y en este momento conviene formalizar y desarrollar todas esas intuiciones que los alumnos y las alumnas adquirieron en etapas precedentes de su educación. En primer término, esa formalización debe crear en el estudiante habilidades para ofrecer explicaciones claras y razonadas de sus propios argumentos, debe hacer que relacione todos los contenidos matemáticos aprendidos hasta ahora, le debe dotar de un lenguaje universalmente aceptado, etc. Y, en segundo lugar, debe preparar a aquellos alumnos y alumnas que deseen seguir estudios técnicos y científicos superiores, para que lleven a buen término sus proyectos futuros.
Esta materia ha de contribuir a que los alumnos y alumnas desarrollen las siguientes capacidades:
1. Comprender los conceptos, procedimientos y estrategias matemáticas que les permitan desarrollar estudios posteriores más específicos de Ciencias o Técnicos y adquirir una formación científica general.
2. Aplicar sus conocimientos matemáticos a situaciones diversas, utilizándolos en la interpretación de las ciencias, en la actividad tecnológica y en las actividades cotidianas.
3. Analizar y valorar la información proveniente de diferentes fuentes, utilizando las herramientas y el lenguaje matemático, para formarse una opinión propia que les permita expresarse críticamente sobre problemas actuales.
4. Utilizar, con autonomía y eficacia, las estrategias características de la investigación científica y los procedimientos propios de las matemáticas (plantear problemas, formular y contrastar hipótesis, planificar, manipular y experimentar) para realizar investigaciones y en general, explorar y abordar con mentalidad abierta los problemas que la continua evolución científica y tecnológica plantea a la sociedad.
5. Hacer uso del lenguaje matemático para expresarse oral, escrita y gráficamente en situaciones susceptibles de ser tratadas matemáticamente, mediante la adquisición y el manejo de un vocabulario específico de términos y notaciones matemáticas.
6. Favorecer el desarrollo de actitudes asociadas al trabajo científico y a la investigación matemática, tales como la visión crítica, la necesidad de verificación, la valoración de la precisión, el cuestionamiento de las apreciaciones intuitivas, la apertura a nuevas ideas.
7. Utilizar el discurso racional para plantear acertadamente problemas, justificar procedimientos, adquirir rigor en el pensamiento científico, encadenar coherentemente los argumentos y detectas incorrecciones lógicas.
8. Abordar con mentalidad abierta los problemas que la continua evolución científica y tecnológica plantea en la sociedad dominando el lenguaje matemático necesario.
9. Apreciar el desarrollo de las matemáticas como un proceso cambiante y dinámico, íntimamente relacionado con el de otras áreas del saber, mostrando una actitud flexible y abierta ante opiniones de los demás.
10. Apreciar las aportaciones que todas las culturas (egipcia, hindú, árabe, precolombinas, occidentales, etc.) han realizado a las Matemáticas, con el fin de que abandonen ideas preconcebidas sobre la incultura de algunos pueblos y contribuyan a cimentar el sentimiento de igualdad.
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